2022张宇考研基础30讲第十一讲多元函数微分学

2024-03-30 18:54:30

文章目录

第十一讲多元函数微分学
- 基本概念
- - 平面点集
  - 极限
  - 偏导
  - 可微
  - 偏导数的连续性
- 多元函数微分法则
- - 链式求导规则
- 隐函数存在定理
- 多元函数的极值与最值
- 条件极值与拉格朗日乘法
课后例题精选

第十一讲多元函数微分学

一共大概考个18分左右

基本概念

平面点集

内点外点边界点

聚点

但是对于开集来说，开集没有边界点，因此此时在它边界上的点不是它的边界点，但是是它的聚点。

极限

第一种定义例如：

第二种定义是，如果在去心邻域内有点无定义，则极限不存在。

我们是用的第一种定义，去除无定义的区间。

偏导

P到P0，最简单的方式就是那条斜着的线

可微

判断是否可微的方法：（注！容易遗忘！）

以例11.2为例：

全微分

偏导数的连续性

上面该题的C选项：

在这里，这个极限的前半部分可以求出来是存在等于0
但是后半部分不存在为什么呢
要证明它不存在只需要找出一个路径（y=x）
然后计算会发现不存在

多元函数微分法则

链式求导规则

注！

注意求导后的新函数和原来的函数具有一样的复合结构！

所以f1’也具有这样的结构！

如果具有二阶连续偏导数则

隐函数存在定理

如果隐函数存在定理成立的话，那么就可以由F(x，y）=0确定y=y（x）

)

所以由红框式子=0（右边等于0是因为让F(X,Y)的右边0求导，然后0求导还是0）可以推出：如果隐函数存在定理成立此时说明Fx‘/Fy’中 Fy‘不等于零

全导数
如果最终z和t比如只有一层关系那么代表

更复杂的隐函数求导情况：

公式法在这里的优点就在于所有变量不用纠缠，不需要用链式求导法则。

随后套公式即可

以上都是通过函数来求偏导，求dz，接下来可以通过dz，把函数反求回来。

多元函数的极值与最值

那么接下来需要走定义证明

如果z=fxy在（0，0）取得极值，那么就要求在（0，0）的邻域内它是极大值或者极小值
那么接下来通过走定义的方式实现

对于在0，0的点，我们可以通过y=x和y=-x去趋向，那么此时在这种情况下，它的两个趋向的情况 y=x推出小于零
而在y=-x的情况下推出大于零
而y=x的情况下推出f（0，0）=0
说明f（0，0）不满足在邻域内是极值的情况，因而它不是极值。

答案的写法：

条件极值与拉格朗日乘法

条件下的极值问题

如果有多个约束函数条件，则需要这样：

然后：

注意在这里！
那慕达和μ并不是常数也不是系数，而是一个变量，之后需要对其求导的。

在这里看历届情况来说解方程组可能容易出错

前面还有4分，后面是6分：

如果没时间解出正确的答案，可以瞎写一个答案，因为这样会被归结为计算错误，不是扣6分而是扣4分：

课后例题精选

注意此时在求区域内的最值时，人家不需要判断你这里是否是极值，只需要判断是否是最值就可以了，因此不需要求二阶导然后求▲=B²-AC

然后接下来再代入可疑点求最值即可

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