2022张宇考研基础30讲 线性代数 第三讲 向量组
文章目录
- 第三讲 向量组
- 线性相关和线性无关的几何意义
- 线性变换的几何意义
- 向量及向量组的线性相关性
- 判别线性相关性的七大定理
- 等价向量组
- 有关向量组的秩的重要定理和公式
- 向量空间
第三讲 向量组
本章四大问题：线性表出、线性相关、极大线性无关组、等价向量组
矩阵相乘本质上还是可以看成向量的内积：
引言总结：
- 秩就是线性无关的向量个数（不含有多余的信息）
- 矩阵的秩和向量组的秩本质相同
线性相关和线性无关的几何意义
本段内容节选自科普视频：
首先如果两个二维向量不共线，那么它们两个做线性变化（缩放）可以表示出这个平面内的所有向量：
而在空间中，两个不共线向量的所有线性组合，可以描绘出一个平面：
但是如果第三个向量落在前两个向量所组成的平面上：
此时，即便新增这一个向量，你也无法逃出这一层平面，因为第三个向量是禁锢于这个平面的，加上其它本身就处在这个空间的向量，也无法逃脱这个平面的桎梏（突然中二 ）
如果新的这个向量不在原平面，则：
那么线性相关的几何意义：或者说这个向量可以由其他向量的缩放然后组合得到（或者说这个向量落在另外的向量组成的平面里）
线性无关的几何意义:
那么这些向量就是线性无关的。
线性变换的几何意义
向量及向量组的线性相关性
注意不全为零这个关键词。
也就是说，所有向量都不能被别的向量表示。那我们知道，想要被别的向量表示，只要它前面那个系数不为零，然后就可以移项，然后除以那个向量前面的系数即可(只要不为零即可)。
例如下面这个例子，想要满足那个条件只能使得其都等于零。
判别线性相关性的七大定理
那我们在α1~n找其中一个向量让别的向量表示的时候找谁呢？找那个系数不为零的向量。
A向量可以表示B向量，那B向量也可以表示A向量吗？
不一定，因为例如零向量可以由任何向量表示，但是非零向量不能由零向量表示。
只看局部同样成立，例如：
答案是不行，因为第二行不能表示
然后如果行列式不等于零就意味着线性无关
在这里 s就是方程组中未知数的个数，而n就是方程的个数，如果未知数大于方程个数意味着有无数个解，那就有零解，所以线性相关。
行阶梯矩阵，零在每一行都是从左往右，并且数量严格递增
如果一个向量组线性无关，那么就是满秩的。
如果一个向量组线性相关，有五个向量，秩为3，说明有两个向量是多余的。
然后接下来用这个简单的向量来表出其余的向量，然后简化版本的向量的对应关系和原关系是一样的，因此下面就可以把β‘改成β
等价向量组
矩阵等价和向量组等价的差别在这里只差一个，就是看拼起来是否相等。两个秩相等是矩阵等价，三个相等就是向量组等价。
有关向量组的秩的重要定理和公式
例题：
向量空间
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