1-6 LTI(线性时不变系统)的时域分析

LTI具有4个基本性质：1.线性；2.时不变性；3.微分性；4.积分性，它可以用下面的线性常微分方程来描述。https://baike.baidu.com/item/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%97%B6%E4%B8%8D%E5%8F%98%E7%B3%BB%E7%BB%9F/2474061

要求为nm，系统的初始条件为。

1)零状态响应和零输入响应的求解分析

零状态响应就是当前的输入值所产生的影响，而零输入响应则是历史输入产生的影响。可以联系电路中的零状态响应和零输入响应。

一般情况下，遇到应该是全状态响应，零状态响应和零输入响应共同作用。对于这种情况，我们将LTI用常系数微分方程来描述，并使用MATLAB中的的dsolve函数来求解。用法为dsolve('eq1,eq2,···','cond1,cond2,···','v'),其中，微分和导数的输入是使用Dy，D2y，D3y，····Dny，cond表示初始条件，v为自变量。

例1-6-1）

syms x(t) y(t) t;
eqn=[diff(x)==y,diff(y)==-x,x(0)==-1,y(0)==2];
s=dsolve(eqn,t);
ezplot(s.x)
hold on;
ezplot(s.y)

2)LTI数值求解

在MATLAB中，我们可以使用lsim函数来求解LTI的初始条件，使用方法为,t为计算系统响应的采样点向量，f是系统输入信号向量，sys是系统模型，表示微分方程、差分方程、状态方程，,b、a分别是微分方程的左右边系数向量，如b = [b4,b3,b2,b1,b0]，值得注意的是0不能省略。

例1-6-2)系统用微分方程描述为y''(t)+2y'(t)+100y(t) = 10cos2πt,求系统的零状态响应

clear all
t = 0:0.01:5;
sys = tf([1],[1 2 200]);
f = 10*cos(2*pi*t);
y = lsim(sys,f,t);
plot(t,y);
ylabel('y(t)');
xlabel('t/s');
grid on;

3)LTI冲激响应和阶跃响应分析

MATALB提供了impulse函数和step函数来分别求解冲激响应和阶跃响应。

例1-6-3)绘制出冲激响应和阶跃响应

clear all
t = 0:0.01:4;
sys = tf([1,32],[1,4,64]);
h = impulse(sys,t);
g = step(sys,t);
subplot(211);
plot(t,h);
title('冲激响应');
grid on
subplot(212);
plot(t,g);
title('阶跃响应');
grid on

4）LTI卷积运算

连续信号的卷积运算定义为,使用前面提到的conv函数即可。

例1-6-4）用数值计算与的卷积

clear all
t = -2:0.01:2;
f1 = heaviside(t-1)+sqrt(3)*heaviside(t+1);
f2 = exp(-1*t).*heaviside(t);
f = conv(f1,f2)*0.01;
subplot(221)
plot(t,f1);
grid on;
axis([-2 2 0 3])
title('f1')
subplot(222)
plot(t,f2);
grid on;
axis([-2 2 0 2])
title('f2')
subplot(212)
n =length(f);
t2 = (0:n-1)*0.01-2;
plot(t2,f);
grid on;
axis([-2 6 0 2.5])
title('f')

参考资料——《MATLAB信号处理》沈再阳

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