数学物理方法 01 解析函数论
第一章解析函数论 \color{blue}{第一章 解析函数论}
§1.1复数及其运算 \color{blue}{\S 1.1 复数及其运算}
1.1.1复数的概念 \color{blue}{1.1.1 复数的概念}
1.定义： 1.定义：
z=(x,y)=x+iy,x=Rezz ¯ =x−iy,y=Imz z = (x, y) = x + i y, \quad x = Re z \\ \bar z = x - iy, \quad y = Im z
2.性质:(1)若z 1 =x 1 +iy 1 z 2 =x 2 +iy 2 ,则z 1 =z 2 ⟺x 1 =x 2 y 1 =y 2 2.性质:\\ (1) 若\left. \begin{array}{l}z_1 = x_1 + iy_1 \\ z_2 = x_2 + iy_2 \end{array} \right. , 则z_1 = z_2 \iff \left. \begin{array}{l} x_1 = x_2 \\ y_1 = y_2 \end{array} \right.
(2)z无大小 (2) z无大小
(3)R(a,b,c) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =R(a ¯ ,b ¯ ,c ¯ ,⋯) (3) \overline{R(a, b, c)} = R(\bar a, \bar b, \bar c, \cdots)
1.1.2复数的表示方法 \color{blue}{1.1.2 复数的表示方法}
1.几何表示:(1)点z;(2)向量OZ → ;(3)极坐标(ρ,φ):ρ=x 2 +y 2 − − − − − − √ ,z的模，φ=arctanyx =argz,z的幅角，多值 1.几何表示:\\ (1)点z; \\ (2)向量 \vec {OZ}; \\ (3)极坐标(\rho, \varphi): \rho = \sqrt{x^2 + y^2}, z的模， \varphi = \arctan \dfrac{y}{x} = \arg z, z 的幅角，多值
规定：−π<argz≤π,幅角的主值；argz=argz±2kπ,k=0,1,2,⋯ 规定：-\pi
用arctan表示argz:argz=⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ arctanyx ,x>0,y>0arctanyx +π,x<0,y>0arctanyx −π,x<0,y<0arctanyx ,x>0,y<0 用\arctan表示 \arg z: \quad \arg z = \left \{ \begin{array}{l} \arctan \dfrac{y}{x}, x > 0, y > 0 \\ \arctan \dfrac{y}{x} + \pi, x 0 \\ \arctan \dfrac{y}{x} - \pi, x 0, y
(4)复球表示:球面上的点A ′ ↔复平面上的点A;北极N↔复平面上的∞；复平面+∞=全平面↔复球面 (4)复球表示:\\ 球面上的点A^{\prime} \leftrightarrow 复平面上的点A;\\ 北极N \leftrightarrow 复平面上的\infty；\\ 复平面 + \infty = 全平面 \leftrightarrow 复球面
2.代数表示 2.代数表示
z=⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x+iyρcosφ+ρsinφ(三角)ρe iφ (指数) z = \left \{ \begin{array}{l} x + iy \\ \rho \cos \varphi + \rho \sin \varphi (三角) \\ \rho e^{i\varphi} (指数) \end{array} \right.
注意:①∞与数学分析中的+∞,−∞有根本区别，在数学分析中，+∞,−∞只是变量变化的记号。 注意:\\ ①\infty与数学分析中的 +\infty, -\infty有根本区别，\\ 在数学分析中，+\infty, -\infty只是变量变化的记号。
②规定：⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ |∞|=∞,但实部、虚部和幅角则认为是无意义的∞±z=z±∞(z≠∞)z∞ =0(z≠∞)z0 =∞(z≠0) ②规定：\left \{ \begin{array}{l} |\infty| = \infty,但实部、虚部和幅角则认为是无意义的 \\ \infty \pm z = z \pm \infty (z \neq \infty) \\ \dfrac{z}{\infty} = 0 ( z \neq \infty) \\ \dfrac{z}{0} = \infty (z \neq 0) \end{array} \right.
1.1.3复数的运算规则 \color{blue}{1.1.3 复数的运算规则}
1.运算结果与实数运算结果相符合 1.运算结果与实数运算结果相符合
2.运算规则与实数运算规则相符合 2.运算规则与实数运算规则相符合
3.满足i 2 =−1 3.满足i^2 = -1
规定：若z 1 =x 1 +iy 1 ,z 2 =x 2 +iy 2 则z 1 ±z 2 =(x 1 ±x 2 )+i(y 1 ±y 2 )z 1 ×z 2 =(x 1 x 2 −y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 +y 1 x 2 ) 规定：\\ 若z_1 = x_1 + i y_1, z_2 = x_2 +i y_2 \\ 则z_1 \pm z_2 = (x_1 \pm x_2) + i (y_1 \pm y_2) \\ z_1 \times z_2 = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + y_1x_2)
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ e iφ 1 ⋅e iφ 2 =e i(φ 1 +φ 2 ) e iφ 1 e iφ 2 =e i(φ 1 −φ 2 ) z 2 1 −z 2 2 =(z 1 +z 2 )(z 1 −z 2 )(z 1 +z 2 ) n =∑ m=0 n c m n z m 1 z n−m 2 \left \{ \begin{array}{l} e^{i \varphi_1} \cdot e^{i \varphi_2} = e^{i (\varphi_1 + \varphi_2)} \\ \dfrac{e^{i \varphi_1}}{e^{i\varphi_2}} = e^{i (\varphi_1 - \varphi_2)} \\ z_1^2 - z_2^2 = (z_1 + z_2)(z_1 - z_2) \\ (z_1 + z_2)^n = \sum \limits _ {m=0} ^ n c_ n ^ m z_1^m z_2^{n-m} \end{array} \right.
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ z 1 ⋅z 2 =|z 1 |⋅|z 2 |e i(Argz 1 +Argz 2 ) z 1 z 2 =|z 1 ||z 2 | e i(Argz 1 −Argz 2 ) (z 2 ≠0)z n =|z| n e inArgz z √ m =|z| − − √ m e iargz+2kπm ,(m≥2;k=0,±1,±2,⋯) \left \{ \begin{array}{l} z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| e^{i (Arg \; z_1 + Arg\; z_2)} \\ \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{|z_1|}{|z_2|} e^{i (Arg \; z_1 - Arg \; z_2)} \quad (z_2 \neq 0) \\ z^n = |z|^n e^{i nArgz} \\ \sqrt[m]{z} = \sqrt[m]{|z|} e^{i \frac{arg z + 2k \pi}{m}}, (m \geq 2; k = 0, \pm1, \pm 2, \cdots) \end{array} \right.
DeMoiver公式:(cosφ+isinφ) n =cosnφ+isinnφ \mathbf{DeMoiver}公式:\\ (\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = \cos n \varphi + i \sin n \varphi
§1.2复变函数 \color{blue}{\S 1.2 复变函数}
1.2.1复变函数的概念 \color{blue}{1.2.1 复变函数的概念}
1.定义：设E为一点集，若按一定规律，使z∈E⟶ f(z) w=u(x,y)+iv(x,y),其中，u、v为实函数，则称：w=f(z)为复变函数，E为定义域，W为值域。 1.定义：设E为一点集，若按一定规律，使z \in E \stackrel{f(z)}{\longrightarrow} w = u(x, y) + i v(x, y), \\ 其中， u、v为实函数，则称：w = f(z)为复变函数，E为定义域，W为值域。
复变函数⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 单值z→w⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 单叶：z↔w(w=za+b)多叶：w 1 w 2 ⋮ ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ →w(w=z 2 ) 多值：z→⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w 1 w 2 ⋮ (w=z √ 3 ) 复变函数\left \{ \begin{array}{l}单值z \to w \left \{ \begin{array}{l}单叶：z \leftrightarrow w (w = za + b) \\ 多叶：\left. \begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ \vdots \end{array} \right \} \to w(w = z^2) \end{array} \right. \\ 多值：z \to \left \{ \begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ \vdots \end{array} \right.(w = \sqrt[3]{z}) \end{array} \right.
1.2.2区域 \color{blue}{1.2.2 区域}
1.邻域：∀z∈|z−z 0 |<ε的点集称为z 0 的ε领域。 1.邻域：\forall z \in |z - z_0|
2.内点：若z 0 总有一个邻域N(z 0 ,ε)全含于点集σ内,则称z 0 为σ的内点。 2.内点：若z_0总有一个邻域N(z_0, \varepsilon)全含于点集\sigma内,则称z_0为\sigma的内点。
3.区域：若点集σ{①全由内点组成;②设z 1 ∈σ,z 2 ∈σ,且z 1 和z 2 可用全∈σ的线连接; 3.区域：若点集\sigma \left \{ \begin{array}{l} ①全由内点组成; \\②设z_1 \in \sigma, z_2 \in \sigma,且z_1和z_2可用全\in \sigma 的线连接; \end{array} \right.
4.外点：{不属于区域σ总有一个N(z 0 ,ε)有∉σ的点 }称z 0 是σ的外点。 4.外点：\left \{ \begin{array}{l}不属于区域\sigma \\ 总有一个N(z_0, \varepsilon)有 \notin \sigma 的点 \end{array} \right \}称z_0是\sigma的外点。
5.界点:若z 0 不属于区域σ,且没有一个邻域不含有σ的点，则称z 0 为σ的界点。 5.界点:若z_0不属于区域\sigma,且没有一个邻域不含有\sigma的点，则称z_0为\sigma的界点。
边界：全体界点构成区域的边界。 边界：全体界点构成区域的边界。
边界正向：沿着边界走，区域总在左方，则此走向称为边界的正方向。 边界正向：沿着边界走，区域总在左方，则此走向称为边界的正方向。
闭区域：σ ¯ =σ+l,其中l为边界。 闭区域：\bar \sigma = \sigma + l,其中l为边界。
6.单连通区域：若在区域内作任何简单的闭曲线，区域内的点都是属于此区域的，则称该区域为单连通区域。 6.单连通区域：若在区域内作任何简单的闭曲线，区域内的点都是属于此区域的，\\ 则称该区域为单连通区域。
7.复连通区域：一个区域，如果不是单连通区域，就是复连通区域。 7.复连通区域：一个区域，如果不是单连通区域，就是复连通区域。
1.2.3极限、连续性 \color{blue}{1.2.3 极限、连续性}
1.定义：w=f(z):∀ε>0,∃δ>0,当0<|z−z 0 |<δ时，有|f(z)−w 0 |<ε,则lim z→z 0 f(z)=w 0 为极限。若lim z→z 0 f(z)=f(z 0 ),则f(z)在z 0 点连续。 1.定义：w = f(z):\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, 当0
§1.3微商及解析函数 \color{blue}{\S 1.3 微商及解析函数}
1.3.1微商及微分 \color{blue}{1.3.1 微商及微分}
1.微商:w=f(z)是z点及N(z,ε)的单值函数,若lim Δz→0 ΔfΔz =lim Δz→0 f(z+Δz)−f(z)Δz 存在极限,则记f ′ (z)=lim Δz→0 ΔfΔz ,称为f(z)在z点的导数。e.gf(z)=z 2 (z 2 ) ′ =lim Δz→0 ΔfΔz =lim Δz→0 (z+Δz) 2 −z 2 Δz =lim Δz→0 (2z+Δz)ΔzΔz =2z,(z n ) ′ =nz n−1 注意：(1)Δz→0的方式必须是任意的在实函数中:f ′ (x)=lim Δx→0 ΔfΔx 而在复变函数中：f ′ (z)=lim Δz→0 ΔfΔz e.gf(z)=Rezlim Δz→0 ΔfΔz =lim Δz→0 Re(z+Δz)−RezΔz =lim Δz→0 ReΔzΔz =lim Δz→0 ΔxΔz 1.微商:\\ w = f(z) 是z点及N(z, \varepsilon)的单值函数,若\lim \limits _ {\Delta z \to 0} \dfrac{\Delta f}{\Delta z} = \lim \limits _ {\Delta z \to 0} \dfrac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}存在\\ 极限, 则记f^{\prime}(z) = \lim \limits _ {\Delta z \to 0} \dfrac{\Delta f}{\Delta z}, 称为f(z)在z点的导数。\\ e.g \quad f(z) = z^2 \\ (z^2)^{\prime} = \lim \limits _ {\Delta z \to 0} \dfrac {\Delta f}{\Delta z} = \lim \limits _ {\Delta z \to 0} \dfrac{(z + \Delta z)^2 - z^2}{\Delta z} \\ = \lim \limits _ {\Delta z \to 0} \dfrac{(2z + \Delta z)\Delta z}{\Delta z} = 2z, \quad (z^n)^{\prime} = nz^{n-1} \\ 注意：(1) \Delta z \to 0 的方式必须是任意的在实函数中:f^{\prime}(x) = \lim \limits _ {\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta f}{\Delta x}\\ 而在复变函数中：\\ f^{\prime}(z) = \lim \limits _ {\Delta z \to 0} \dfrac{\Delta f}{\Delta z} \\ e.g \quad f(z) = Re \; z \\ \lim \limits _ {\Delta z \to 0} \dfrac{\Delta f}{\Delta z} = \lim \limits _ {\Delta z \to 0} \dfrac{Re ( z + \Delta z) - Re \; z}{\Delta z} \\ = \lim \limits _ {\Delta z \to 0} \dfrac{Re \; \Delta z }{\Delta z} = \lim \limits _ {\Delta z \to 0} \dfrac{\Delta x}{\Delta z}
lim Δz→0 ΔfΔz =⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ lim Δx=0,Δy→0 ΔxΔx+iΔy =0lim Δx→0,Δy=0 ΔxΔx+iΔy =1 \lim \limits _{\Delta z \to 0} \dfrac{\Delta f }{\Delta z} = \left \{ \begin{array}{l} \lim \limits _ {\Delta x = 0, \Delta y \to 0} \dfrac{\Delta x}{\Delta x + i \Delta y} = 0 \\ \lim \limits _ {\Delta x \to 0, \Delta y = 0} \dfrac{\Delta x}{\Delta x + i \Delta y} = 1 \end{array} \right.
∴f(z)=Rez,在复平面处处不可导。 \therefore f(z) = Re \; z,在复平面处处不可导。
注意：(2)可导必然连续，反之则未必；如f(z)=Rez=x在“复平面”中处处连续，但却处处不可导。 注意：(2)可导必然连续，反之则未必；如f(z) = Re \; z = x在“复平面”中处处连续，\\ 但却处处不可导。
(3)可导与连续不同，由实部与虚部在某一点连续，可以断定复变函数连续，但是由实部与虚部在某点可导，并不能判断函数可导；e.gf(z)=Rez (3)可导与连续不同，由实部与虚部在某一点连续，可以断定复变函数连续，但是由实部\\ 与虚部在某点可导，并不能判断函数可导；\\ e.g \quad f(z) = Re \; z
2.微分若w=f(z),记dw=f ′ (z)dz[ordf=f ′ (z)dz]–微分则f ′ (z)=dwdz (=dfdz )–微商 2.微分\\ 若w = f(z),记dw = f^{\prime}(z)dz [or df = f^{\prime}(z)dz] – 微分\\ 则 f^{\prime}(z) = \dfrac {dw}{dz}(=\dfrac{df}{dz}) \quad – 微商
3.求导、微分法则： 3.求导、微分法则：
实函数中求导、微分法则在此皆适用。 实函数中求导、微分法则在此皆适用。
[f 1 (z)±f 2 (z)] ′ =f ′ 1 (z)±f ′ 2 (z)[f 1 (z)⋅f 2 (z)] ′ =f ′ 1 (z)⋅f 2 (z)+f 1 (z)⋅f ′ 2 (z) [f_1(z) \pm f_2(z)]^{\prime} = f_1^{\prime}(z) \pm f_2^{\prime}(z) \\ [f_1(z) \cdot f_2(z)]^{\prime} = f_1^{\prime}(z) \cdot f_2(z) + f_1(z) \cdot f_2^{\prime}(z)
e.gp n (z)=a 0 +a 1 z+a 2 z 2 +⋯+a n z n →p ′ n (z)=a 1 +2a 2 z+⋯+na n z n−1 e.g\quad p_n(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots + a_nz^n \\ \to p_n^{\prime}(z) = a_1 + 2a_2z + \cdots + na_nz^{n-1}
4.可导的必要条件:⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂u∂x =∂v∂y ∂v∂x =−∂u∂y C−R条件 4.可导的必要条件: \left \{ \begin{array}{l} \dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y} \\ \dfrac{\partial v}{\partial x} = -\dfrac{\partial u}{\partial y} \end{array} \right. \quad C-R条件
5.可导的充要条件:{(1)u x ,u y ,v x ,v y 均连续;(2)u,v满足C−R条件. 5.可导的充要条件: \left \{ \begin{array}{l} (1) u_x, u_y, v_x, v_y均连续; \\ (2) u,v满足C-R条件. \end{array} \right.
注意：(1)C−R条件只是可导的必要条件，不是充分条件。 注意：(1)C-R条件只是可导的必要条件，不是充分条件。
(2)C−R条件的极坐标形式为:⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂u∂ρ =1ρ ∂v∂φ ∂v∂ρ =−1ρ ∂u∂φ (2)C-R条件的极坐标形式为:\left \{ \begin{array}{l} \dfrac{\partial u}{\partial \rho} = \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial v}{\partial \varphi} \\ \dfrac{\partial v}{\partial \rho} = -\dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial u}{\partial \varphi} \end{array} \right.
(3)由C−R条件可得:f ′ (z)=⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂u∂x +i∂v∂x ∂v∂y +i∂v∂x ∂u∂x −i∂u∂y ∂v∂y −i∂u∂y (3)由C-R条件可得:f^{\prime}(z) = \left \{ \begin{array}{l}\dfrac{\partial u}{\partial x} + i \dfrac{\partial v}{\partial x} \\\dfrac{\partial v}{\partial y} + i \dfrac{\partial v}{\partial x} \\ \dfrac{\partial u}{\partial x} - i \dfrac{\partial u}{\partial y} \\ \dfrac{\partial v}{\partial y} - i \dfrac{\partial u}{\partial y} \end{array} \right.
1.3.2解析函数 \color{blue}{1.3.2 解析函数}
1.定义:若w=f(z)在z 0 点及N(z 0 ,ε)可导，则称w=f(z)在z 0 点解析。若w=f(z)在区域σ内处处可导，则称w=f(z)在区域σ内解析。引入记号:f(z)∈H(σ)–表示f(z)在区域σ内解析。 1.定义:若w = f(z)在z_0点及N(z_0, \varepsilon)可导，则称w = f(z)在z_0点解析。\\ 若w = f(z) 在区域\sigma内处处可导，则称w = f(z)在区域\sigma内解析。\\ 引入记号:f(z) \in H(\sigma) – 表示f(z)在区域\sigma内解析。
注:(1)凡说解析都是指在某点或某区域解析。(2)函数在某点解析是比在某点可导更严格得多的条件，两者并不等价。e.g.f(z)=|z|,在z=0点可导却不解析。(3)f(z)在区域σ内解析和可导是完全等价的。(4)f(z)的不解析之点称为奇点。(5)解析函数又称为正则函数或全纯函数。 注:(1) 凡说解析都是指在某点或某区域解析。\\ (2) 函数在某点解析是比在某点可导更严格得多的条件，两者并不等价。\\ e.g.f(z) = |z|,在z = 0点可导却不解析。\\ (3) f(z)在区域\sigma内解析和可导是完全等价的。\\ (4) f(z)的不解析之点称为奇点。\\ (5) 解析函数又称为正则函数或全纯函数。
2.必要条件：由解析定义和可导必要条件可得： 2.必要条件：由解析定义和可导必要条件可得：
3.充分条件：由解析定义和可导充分条件可得： 3.充分条件：由解析定义和可导充分条件可得：
4.解析函数的部分性质:若f(z)=u+iv∈H(σ),则(1)Δu=0,Δv=0,且由C−R联系着(2)∇u⋅∇v=0(3)已知u或v均可求出解析函数(4)解析函数的和、差、积、商仍为解析函数 4.解析函数的部分性质:\\ 若f(z) = u + i v \in H(\sigma),则\\ (1) \Delta u = 0, \Delta v = 0,且由C-R联系着\\ (2) \nabla u \cdot \nabla v = 0 \\ (3) 已知u或v均可求出解析函数\\ (4) 解析函数的和、差、积、商仍为解析函数
例:已知v(x,y)=x+y,求解析函数f(z)=u+iv 例:已知 v(x, y) = x + y, 求解析函数f(z) = u + iv
解:(1)用全微分法求:du=∂u∂x dx+∂u∂y dy=∂v∂y dx−∂v∂x dy=dx−dyu=∫d(x−y)+c=x−y+c(2)用积分微分法求：u=∫∂u∂y dy+g(x)=−∫∂v∂x dy+g(x)u=−y+g(x)∴∂u∂x =g ′ (x)=∂v∂y =1,g(x)=x+c∴u=x−y+c∴f(z)=x−y+c+i(x+y)=x+iy+i(x+iy)+c=z(1+i)+c 解:(1) 用全微分法求:\\ du = \dfrac{\partial u}{\partial x} dx + \dfrac{\partial u}{\partial y} dy = \dfrac{\partial v}{\partial y} dx - \dfrac{\partial v}{\partial x} dy = dx - dy \\ u = \int d(x-y) + c = x - y + c \\ (2)用积分微分法求：\\ u = \int \dfrac{\partial u}{\partial y} dy + g(x) = -\int \dfrac{\partial v}{\partial x} dy + g(x) \\ u = -y + g(x) \\ \therefore \dfrac {\partial u}{\partial x} = g^{\prime}(x) = \dfrac {\partial v}{\partial y} = 1, g(x) = x + c \\ \therefore u = x - y + c \\ \therefore f(z) = x - y + c + i(x + y) \\ = x + iy + i(x + iy) + c \\ = z(1 + i) + c
5.解析函数的物理解释：以平面静电场为例(也适合于其它标量场)：电势ψ(x,y)在平面的无源即无电荷区域满足二维拉氏方程:Δψ=∂ 2 ψ∂x 2 +∂ 2 ψ∂y 2 =0则由解析函数的性质，可由一解析函数f(z)=u+iv来描述该电场称为复势。 5.解析函数的物理解释：\\ 以平面静电场为例(也适合于其它标量场)：电势\psi(x, y)在平面的无源即无电荷区域满足\\ 二维拉氏方程:\\ \Delta \psi = \dfrac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} + \dfrac{\partial ^2 \psi}{\partial y^2} = 0 \\ 则由解析函数的性质，可由一解析函数f(z) = u + iv来描述该电场称为复势。
§1.4初等解析函数 \color{blue}{\S 1.4 初等解析函数}
1.4.1初等单值函数 \color{blue}{1.4.1 初等单值函数}
1.幂函数:(1)定义：w=z n (n=0,±1,±2,⋯)(2)解析区域：除了z=0的复平面。(3)新性质:w=P(z)Q(z) =a 0 +a 1 z+a 2 z 2 +⋯+a n z n b 0 +b 1 z+b 2 z 2 +⋯+b m z m (a n ,b m ≠0;Q(z)≠0) 1.幂函数:\\ (1)定义：w = z^n(n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots) \\ (2)解析区域：除了z = 0的复平面。\\ (3)新性质:\\ w = \dfrac {P(z)}{Q(z)} = \dfrac{a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots + a_nz^n}{b_0 + b_1z + b_2z^2 + \cdots + b_mz^m} (a_n, b_m \neq 0; Q(z) \neq 0)
2.指数函数:(1)定义:w=e z =e x+iy =e x (cosy+isiny)(2)解析区域:复平面(3)与实函数相同的性质:e z ≠0,e z 1 ⋅e z 2 =e z 1 +z 2 ;(4)新性质:e z+i2kπ =e z (k=0,±1,±2,⋯)e z 不一定大于0 2.指数函数:\\ (1)定义:w = e^z = e^{x + iy} = e^{x}(\cos y + i \sin y) \\ (2) 解析区域:复平面\\ (3) 与实函数相同的性质: e^z \neq 0, e^{z_1} \cdot e^{z_2} = e^{z_1 + z_2}; \\ (4) 新性质:\\ e^{z + i2k\pi} = e^z(k = 0, \pm 1, \pm2, \cdots) \\ e^z 不一定大于0
3.三角函数:(1)定义：sinz=e iz −e −iz 2i ,cosz=e iz +e −iz 2 tanz=sinzcosz ,cotz=coszsinz ,secz=1cosz ,csc=1sinz (2)解析区域:复平面(除分母为零外)(3)与实函数相同性质：(sinz) ′ =cosz,(cosz) ′ =−sinzsin(z 1 +z 2 )=sinz 1 cosz 2 ±cosz 1 sinz 2 (4)新性质：|sinz|和|cosz|可大于1 3.三角函数:\\ (1)定义：\sin z = \dfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}, \cos z = \dfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \\ \tan z = \dfrac{\sin z}{\cos z}, \cot z = \dfrac{\cos z}{\sin z}, \sec z = \dfrac{1}{\cos z}, \csc = \dfrac{1}{\sin z} \\ (2)解析区域:复平面(除分母为零外)\\ (3)与实函数相同性质：\\ (\sin z)^{\prime} = \cos z, (\cos z)^{\prime} = -\sin z \\ \sin(z_1 + z_2) = \sin z_1 \cos z_2 \pm \cos z_1 \sin z_2 \\ (4) 新性质：\\ |\sin z|和|\cos z|可大于1
4.双曲函数:(1)定义:sinhz=e z −e −z 2 ,coshz=e z +e −z 2 tanhz=sinhzcoshz ,cothz=coshzsinhz ,sechz=1coshz ,cschz=1sinhz 4.双曲函数:\\ (1)定义:\sinh z = \dfrac{e^z - e^{-z}}{2}, \cosh z = \dfrac{e^z + e^{-z}}{2} \\ \tanh z = \dfrac{\sinh z}{\cosh z}, \coth z = \dfrac{\cosh z}{\sinh z}, \\ sech \; z = \dfrac{1}{\cosh z}, csch \; z = \dfrac{1}{\sinh z}
(2)解析区域:复平面 (2)解析区域:复平面
(3)与实函数相同的性质：cosh 2 z−sinh 2 z=1; (3)与实函数相同的性质：\cosh^2 z - \sinh^2 z = 1;
初等单值函数与相应实函数的定义在形式上相同；在其定义域内均解析；除具有某些新性质外具有与相应实函数相同的性质。 初等单值函数与相应实函数的定义在形式上相同；\\ 在其定义域内均解析；\\ 除具有某些新性质外具有与相应实函数相同的性质。
1.4.2初等多值函数 \color{blue}{1.4.2 初等多值函数}
1.根式函数:w=z √ ;支点为z=0,∞;一阶 1.根式函数:{\color{blue}{w = \sqrt z;支点为z = 0, \infty; 一阶}}
(1)定义：若w n =z,则记w=z √ n 称为根式函数(n=2,3,⋯) (1)定义：若w^n = z,则记w = \sqrt[n]{z}称为根式函数(n = 2, 3, \cdots)
(2)多值性的体现：体现在z的幅角与w的幅角的对应关系上。 (2)多值性的体现：体现在z的幅角与w的幅角的对应关系上。
(3)支点：当变量绕其一周时函数值会改变的点;绕其n周后函数值还原的支点为n−1阶支点. (3)支点：当变量绕其一周时函数值会改变的点;绕其n周后函数值还原的支点为n-1阶支点.
(4)单值分支:限制z的变化范围得到的若干单值函数。 (4)单值分支:限制z的变化范围得到的若干单值函数。
(5)支割线：连接支点割开z平面的线。 (5)支割线：连接支点割开z平面的线。
(6)黎曼面:互相交叠的若干叶z平面。 (6)黎曼面:互相交叠的若干叶z平面。
(7)解析性：每一单值支均解析。 (7)解析性：每一单值支均解析。
例1.讨论w=(z−a)(z−b) − − − − − − − − − − − √ 的支点.答:支点为a,b。 例1.讨论w = \sqrt{(z - a)(z - b)}的支点.\\ 答:支点为a,b。
例2.函数w=z 2 −4 − − − − − √ 3 +z 2 −1 − − − − − √ 是几值函数？有何支点？答:6值，支点±1,±2,∞ 例2.函数w = \sqrt[3]{z^2 - 4} + \sqrt{z^2 - 1}是几值函数？有何支点？\\ 答:6值，支点 \pm 1, \pm 2, \infty
2.对数函数：主值支:lnz=ln|z|+iargz,0<argz≤2π 2.对数函数：{\color{blue}{主值支:\ln z = \ln |z| + i \arg z, 0
(1)定义:若z=e w ,则w=lnz (1)定义:若z = e^w, 则w = \ln z
(2)多值性的体现：z的幅角和w的虚部的对应关系 (2)多值性的体现：z的幅角和w的虚部的对应关系
(3)支点:0,∞ (3) 支点:0, \infty
(4)单值分支：lnz=ln|z|+i(argz+2kπ),k=0,±1,±2,⋯ (4) 单值分支： \ln z = \ln |z| + i (\arg z + 2k \pi), k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots
(5)支割线：连接0,∞割开z平面的线。 (5) 支割线：连接0, \infty 割开z平面的线。
(6)黎曼面：无穷多叶 (6) 黎曼面：无穷多叶
(7)解析性：每一单值支均解析 (7) 解析性：每一单值支均解析
(8)性质：ln(z 1 ⋅z 2 )=lnz 1 +lnz 2 ln(z 1 /z 2 )=lnz 1 −lnz 2 (8)性质：\ln (z_1 \cdot z_2) = \ln z_1 + \ln z_2 \\ \ln (z_1 / z_2) = \ln z_1 - \ln z_2
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