20211201 （正定矩阵A+正定矩阵B）的最小特征值 ≥ 正定矩阵A的最小特征值+正定矩阵B的最小特征值

定理: A,BA, BA,B 均正定，C=A+BC=A+BC=A+B，因此也是正定 λmin⁡(C)⩾λmin⁡(A)+λmin⁡(B)\lambda_{\min}(C) \geqslant \lambda_{\min}(A)+\lambda_{\min}(B)λmin(C)⩾λmin(A)+λmin(B) λmax⁡(C)⩽λmax⁡(A)+λmax⁡(B)\lambda_{\max}(C) \leqslant \lambda_{\max}(A)+\lambda_{\max}(B)λmax(C)⩽λmax(A)+λmax(B)

证明:
xTAx⩾λmin⁡(A)xTxx^TAx \geqslant \lambda_{\min}(A)x^TxxTAx⩾λmin(A)xTx. Thus, xT(A−λmin⁡(A)E)x⩾0x^T(A-\lambda_{\min}(A)E)x \geqslant 0xT(A−λmin(A)E)x⩾0, that is, A−λmin⁡(A)EA-\lambda_{\min}(A)EA−λmin(A)E is non-negative definite.

因此，有
A−λmin⁡(A)E⩾0A-\lambda_{\min}(A)E \geqslant 0A−λmin(A)E⩾0
B−λmin⁡(B)E⩾0B-\lambda_{\min}(B)E \geqslant 0B−λmin(B)E⩾0
A−λmin⁡(A)E+B−λmin⁡(B)E⩾0A-\lambda_{\min}(A)E+B-\lambda_{\min}(B)E \geqslant 0A−λmin(A)E+B−λmin(B)E⩾0

显然， Cx=λ(C)xCx=\lambda(C)xCx=λ(C)x，所有
(A−λmin⁡(A)E+B−λmin⁡(B)E)x=(λ(C)−λmin⁡(A)−λmin⁡(B))x(A-\lambda_{\min}(A)E+B-\lambda_{\min}(B)E)x=\left(\lambda(C)-\lambda_{\min}(A)-\lambda_{\min}(B)\right)x(A−λmin(A)E+B−λmin(B)E)x=(λ(C)−λmin(A)−λmin(B))x
也就是说，λ(C)−λmin⁡(A)−λmin⁡(B)\lambda(C)-\lambda_{\min}(A)-\lambda_{\min}(B)λ(C)−λmin(A)−λmin(B)是A−λmin⁡(A)E+B−λmin⁡(B)EA-\lambda_{\min}(A)E+B-\lambda_{\min}(B)EA−λmin(A)E+B−λmin(B)E的特征值

因为A−λmin⁡(A)E+B−λmin⁡(B)E⩾0A-\lambda_{\min}(A)E+B-\lambda_{\min}(B)E \geqslant 0A−λmin(A)E+B−λmin(B)E⩾0，是非负定阵，因此λ(C)−λmin⁡(A)−λmin⁡(B)⩾0\lambda(C)-\lambda_{\min}(A)-\lambda_{\min}(B) \geqslant 0λ(C)−λmin(A)−λmin(B)⩾0

所以
λ(C)⩾λmin⁡(A)+λmin⁡(B)\lambda(C) \geqslant \lambda_{\min}(A)+\lambda_{\min}(B)λ(C)⩾λmin(A)+λmin(B)
λmin⁡(C)⩾λmin⁡(A)+λmin⁡(B)\lambda_{\min}(C) \geqslant \lambda_{\min}(A)+\lambda_{\min}(B)λmin(C)⩾λmin(A)+λmin(B)

同理
λmax⁡(C)⩽λmax⁡(A)+λmax⁡(B)\lambda_{\max}(C) \leqslant \lambda_{\max}(A)+\lambda_{\max}(B)λmax(C)⩽λmax(A)+λmax(B)

注意：这里必须 A,BA, BA,B 均正定，否则不成立；例如：

20211201 （正定矩阵A+正定矩阵B）的最小特征值 ≥ 正定矩阵A的最小特征值+正定矩阵B的最小特征值相关推荐

【网络流24题】解题报告：C、最小路径覆盖问题（有向无环图最小路径覆盖）（最大流）
C.最小路径覆盖问题(有向无环图最小路径覆盖)(最大流)[省选/NOI- ] 拆点最大流 [问题分析] 有向无环图最小路径覆盖,可以转化成二分图最大匹配问题,从而用最大流解决. [建模方法] 构造二分 ...
流网络的最小割问题c语言,「网络流24题」最小路径覆盖问题
Description 问题描述: 给定有向图G=(V,E).设P 是G 的一个简单路(顶点不相交)的集合.如果V 中每个顶点恰好在P 的一条路上,则称P是G 的一个路径覆盖.P 中路径可以从V 的任 ...
特征值与特征向量 matlab数值解,用MATLAB和numpy求解特征值和特征向量,matlab,与
对比一下numpy与matlab求解的特征值与特征向量特征值 λ1=λ2=1 λ3=2 特征值 λ1=-1 λ2=λ3=2 如何求解特征向量 1.这里列举第一个中λ=1时对应的特征向量. (A-λ* ...
【牛客 - 369F】小D的剑阵（最小割建图，二元关系建图，网络流最小割）
题干: 链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/369/F 来源:牛客网题目描述现在你有 n 把灵剑,其中选择第i把灵剑会得到的 wiw_iwi 攻击力. ...
pyqt5 最小化系统托盘_Qt中如何使窗口隐藏/最小化到托盘
展开全部功能62616964757a686964616fe78988e69d8331333361303733:窗口最小化后或者点击"hide"按钮将窗口隐藏到托盘. 通常最小化的 ...
严格对角占优矩阵特征值_电子科技大学矩阵理论复习笔记第四章特征值的估计...
4.1 特征值界的估计(详细证明) 掌握定理1 (Shur)的证明利用第三章给的引理, ,在经过放缩(划线处),最后利用相似得到证明. 4.2 Gerschgorin 圆盘定理(详细证明) 定理1的 ...
java求最小步数_关于java：查找两点之间的最小步数？
我有一个网格,网格有两个"材料"- 地板壁例如 : 在此网格中,我们具有具有大小和位置的对象(对象的位置是左上角的点). 我们可以在每个对象上执行一些操作,例如- 提升下移 ...
win7系统计算机无最小化,win7纯净版系统任务栏无法显示网页最小化窗口怎么办...
最近有位用户说win7纯净版任务栏无法显示网页最小化窗口,一般情况下,我们在使用浏览器完都会直接点击窗口最小化,网页窗口最小化到任务栏上.要使用的时候只要单击就可以将任务栏浏览器恢复到最大化,以方便网 ...
oracle最小采购量,EBS oracle 批量导入更新MOQ（最小拆分量、采购提前期、最小订购量、最小包装量）...
EXCEL的列:组织id,供应商编号,供应商地点,料号,最小拆分量.采购提前期.最小订购量.最小包装量 --采购导入更新MOQ四个值,若有为空的那列,会保留原来的值,不会去更新那列的值 PROCEDU ...
计算机中存储数据最小的单位是什么,计算机中存储数据的最小单位和存储容量的基本单位各是什么？...
pb呢计算机中存储数据的最小单位:位bit(比特)(BinaryDigits),存放一位二进制数,即0或1,最小的存储单位.存储容量的基本单位是:bit.B.KB.MB.GB.TB.PB.EB.ZB. ...

20211201 （正定矩阵A+正定矩阵B）的最小特征值 ≥ 正定矩阵A的最小特征值+正定矩阵B的最小特征值

20211201 （正定矩阵A+正定矩阵B）的最小特征值 ≥ 正定矩阵A的最小特征值+正定矩阵B的最小特征值相关推荐

最新文章

热门文章