【网络流24题】解题报告：C、最小路径覆盖问题（有向无环图最小路径覆盖）（最大流）

C、最小路径覆盖问题（有向无环图最小路径覆盖）（最大流）【省选/NOI- 】

拆点最大流

【问题分析】

有向无环图最小路径覆盖，可以转化成二分图最大匹配问题，从而用最大流解决。

【建模方法】

构造二分图，把原图每个顶点i拆分成二分图X，Y集合中的两个顶点Xi和Yi。对于原图中存在的每条边(i,j)，在二分图中连接边(Xi,Yj)。然后把二分图最大匹配模型转化为网络流模型，求网络最大流。

最小路径覆盖的条数，就是原图顶点数，减去二分图最大匹配数。沿着匹配边查找，就是一个路径上的点，输出所有路径即可。

【建模分析】

对于一个路径覆盖，有如下性质：

1、每个顶点属于且只属于一个路径。 2、路径上除终点外，从每个顶点出发只有一条边指向路径上的另一顶点。

所以我们可以把每个顶点理解成两个顶点，一个是出发，一个是目标，建立二分图模型。该二分图的任何一个匹配方案，都对应了一个路径覆盖方案。如果匹配数为0，那么显然路径数=顶点数。每增加一条匹配边，那么路径覆盖数就减少一个，所以路径数=顶点数 - 匹配数。要想使路径数最少，则应最大化匹配数，所以要求二分图的最大匹配。

节点:

源点0, 汇点1
图中第i个点: 左部分i, 右部分i + n

弧:

(源点,左部分点,1)
(右部分点,汇点,1)
(i的左部分,j的右部分,1),前提是原图中i到j有一条有向边

最大流:

(点数-最大流)即为最小路径覆盖

输出答案

输出答案时，可以依次遍历未被访问的所有点，首先沿着反向弧找到路径起点，再依次输出并标记访问过即可。

注意，此建模方法求最小路径覆盖仅适用于有向无环图，如果有环或是无向图，那么有可能求出的一些环覆盖，而不是路径覆盖。

最后的方案可以利用残量网络用并查集维护。
即从 111 到 nnn 枚举，从每个点向外扫一圈，如果有流从这条边经过，也就是流量为 z=0z=0z=0 ，并流向 y+ny+ny+n ，说明这条边是最大流里的匹配边，将他们（xxx 与 yyy）合并为同一条边。

根据网络流的残余流量构造每一条路径(利用并查集维护路径起点)，然后从起点递归输出。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;const int N = 2000 ,M = 60000 ,INF = 0x3f3f3f3f;int n,m,ans,S,T;
int ver[M],from[M],edge[M],nex[M],ln[M],head[N],tot = 1;
int maxflow;
int deep[N],now[M];
bool vis[N];
queue<int>q;
int fa[N];void add(int x,int y,int z){ver[++tot] = y;edge[tot] = z;from[tot] = x;nex[tot] = head[x];head[x] = tot;ver[++tot] = x;edge[tot] = 0;from[tot] = y;nex[tot] = head[y];head[y] = tot;
}bool bfs(){memset(deep,0x3f,sizeof deep);while(q.size())q.pop();q.push(S);deep[S] = 0;now[S] = head[S];while(q.size()){int x = q.front();q.pop();for(int i = head[x];i;i = nex[i]){int y = ver[i],z = edge[i];if(z > 0 && deep[y] == INF){q.push(y);now[y] = head[y];deep[y] = deep[x] + 1;if(y == T)return true;}}}return false;
}int dfs(int x,int flow){if(x == T || !flow)return flow;int ans = 0,k,i;for(int i = now[x];i && flow;i = nex[i]){now[x] = i;//当前弧优化int y = ver[i],z = edge[i];if(z > 0 && (deep[y] == deep[x] + 1)){k = dfs(y,min(flow,z));if(!k)deep[y] = INF;edge[i] -=k;edge[i ^ 1] += k;ans += k;flow -= k;}}return ans;
}void Dinic(){while(bfs()){for(int i = 1;i <= n;++i)now[i] = head[i];while(int d = dfs(S,INF))maxflow += d;}
}int Find(int x){if(fa[x] == x)return x;return fa[x] = Find(fa[x]);
}void unite(int x,int y){x = Find(x),y = Find(y);if(x != y)fa[x] = y;
}void output(int x){printf("%d ",x);for(int i = head[x];i;i = nex[i]){int y = ver[i],z = edge[i];if(!z && y > n)output(y - n);}
}void print(){for(int i = 1;i <= n;++i)fa[i] = i;for(int i = 1;i <= tot;++i){int u = from[i],v = ver[i],z = edge[i];if(u >= 1 && u <= n && v > n && v < T && !z)unite(v - n,u);}for(int i = 1;i <= n;++i)if(Find(i) == i)output(i),puts("");printf("%d\n",ans);
}int main(){scanf("%d%d",&n,&m);S = 0,T = 2 * n + 1;for(int i = 1;i <= m;++i){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);add(x,y + n,1);}for(int i = 1;i <= n;++i)add(S,i,1),add(i + n,T,1);Dinic();ans = n - maxflow;//cout<<maxflow<<"#"<<endl;print();return 0;
}

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