20210928 A列满秩，那么A转置A一定可逆

结论：
A∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m\times n}A∈Rm×n列满秩，也就是列向量无关（秩为n，m≥n），那么ATAA^TAATA一定可逆

证明：
AAA列向量无关，所以AAA的零空间只有0向量；
对于ATAA^TAATA，构造零空间ATAu=0A^TAu=0ATAu=0，可以得到uTATAu=0u^TA^TAu=0uTATAu=0，也就是(Au)TAu=0(Au)^TAu=0(Au)TAu=0，那么Au=0Au=0Au=0，也就是说uuu也是AAA的零空间向量，所以uuu只能是零向量；
接着从ATAu=0A^TAu=0ATAu=0和uuu只能是零向量，可以得到ATAA^TAATA列满秩；
ATAA^TAATA的行数等于列数，且ATAA^TAATA列满秩，所以ATAA^TAATA是满秩，所以可逆。

参考：https://blog.csdn.net/gutsyfarmer/article/details/104166797

20210928 A列满秩，那么A转置A一定可逆相关推荐

matlab矩阵非方阵求逆,python – 从numpy或matlab中的满秩非矩形矩阵中获取可逆方阵...
假设您具有满秩的NxM矩阵A,其中M> N.如果我们用C_i表示列(尺寸为Nx1),那么我们可以将矩阵写为 A = [C_1, C_2, ..., C_M] 如何获得原始矩阵A的第一个线性独立列 ...
python怎么矩阵的秩_python – 从numpy或matlab中的满秩非矩形矩阵中获取可逆方阵...
在MATLAB中轻松,轻松.使用QR,特别是枢轴QR. M = [3 0 0 0 0; 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1; 0 2 0 0 0] [Q,R,E] = qr(M) Q = 1 0 ...
矩阵论（零）：线性代数基础知识整理（1）——逆矩阵、（广义）初等变换、满秩分解
矩阵论专栏:专栏(文章按照顺序排序) 线性代数是矩阵论的先修课程,本篇博客整理线性代数的基础理论知识,为矩阵论的学习做准备.限于篇幅,梳理的重点将在定理和结论上(只给出部分必要的定义),对最基础的概念 ...
求解矩阵A的满秩分解的一般方法
什么是满秩分解? A是一个m*n大小的矩阵,若存在列满纸矩阵F和行满秩矩阵G使得 A=FG 则称矩阵A有满秩分解,等式A=FG称为A的满秩分解. 1,求A的Hermite标准形: 2,设H中单位子矩阵 ...
三角分解、满秩分解、Schur分解与奇异值分解一网打尽
文章目录前言一.三角分解二.满秩分解三.Schur分解 1.UR分解 2.QR分解四.奇异值分解(SVD) 总结前言本文的主要内容是三角分解.满秩分解.Schur分解与奇异值分解的简单介 ...
矩阵分解_满秩分解、三角分解、QR分解、奇异值分解
矩阵的因子分解满秩分解分解方法满秩分解例题三角分解(LU分解) 分解方法三角分解例题 LDU分解分解方法 LDU分解例题正交三角分解(QR分解) 分解方法 QR分解例题奇异值分解(SV ...
20220401 A满秩，B满秩，AB一定满秩
A满秩,B满秩,AB一定满秩. 证明: AAA 满秩,则 Ax1=0Ax_1=0Ax1=0 只有零解,同样, Bx2=0Bx_2=0Bx2=0 也只有零解,那么 ABx=0ABx=0ABx=0 的 ...
直观理解：为什么A为 n 阶满秩方阵时，Ax＝0 只有零解？
本篇博客仅记录一下我个人思考的一点想法,方便以后回顾.并不严谨,希望给大家提供一点直观的理解. 通过上边的变形,我们可以看出AxAxAx的本意就是用x=[x1x2...xn]x=[x_{1} x_{2 ...
方阵可逆，方阵行列式≠0，方阵满秩三者关系推导
首先明确这三者是等价的. 接下来我们得先明确概念的定义: ①方阵可逆:即方阵存在逆阵,使:AA^-1=E; ②矩阵行列式:即由矩阵的全部元素构成的行列式; ③方阵的秩:等于方阵n个列向量所构成的向量组 ...

20210928 A列满秩，那么A转置A一定可逆

20210928 A列满秩，那么A转置A一定可逆相关推荐

最新文章

热门文章