满秩分解

设m * n矩阵A的秩 r>0 ,存在m * r矩阵B和r * n矩阵C使
A= B*C
其中rank(B) = rank© = r,B是列满秩矩阵，C是行满秩分解

分解方法

分解方法：设A=[α1,α2,…αn] , B=[β1,β2,…βn] , βi线性无关
A=BC
取βi为α1,α2,…αn的一个极大线性无关组，B是A的列向量组的一个极大线性无关组，C是用该线性无关组去表示A时的系数（简单解释，C是A进行初等行变换后的不全为0的前r行）

满秩分解例题

三角分解（LU分解）

设A是n阶非奇异矩阵，则存在唯一的单位下三角L和上三角矩阵U，使A = L*U

分解的前提(1)矩阵是方阵
(2)矩阵可逆，即该矩阵是满秩矩阵，每一行都是独立向量(3)消元过程中没有0主元出现，即消元过程中不能出现行交换的初等交换

分解方法

将待分解的A与单位矩阵I同时进行行变换，只加减不交换，直到A被化简为下三角矩阵，此时该矩阵为U，化简后的I为上三角矩阵，该矩阵的逆矩阵为L

三角分解例题

LDU分解

A是n阶非奇异矩阵，则存在唯一的单位下三角矩阵L，对角矩阵D=diag(d1,d2…dn)和单位上三角矩阵U，使A=LDU

分解方法

LU分解完，把U矩阵分解为对角阵和单位上三角矩阵的乘积，把U矩阵的对角线元素拿出来就是对角阵。单位上三角矩阵是将U对角线写成1，同时每行除以该行对应的对角线元素（被拿出去的数）

LDU分解例题

正交三角分解（QR分解）

A是n阶非奇异实(复)矩阵，存在正交(酉)矩阵Q和非奇异实(复)上三角矩阵R，使A = Q*R
A进行QR分解的条件是：A的各个列向量是线性无关的

分解方法

A是满秩矩阵，将A按列分块为A=[α1,α2,…αn],则α1,α2,…αn线性无关
(1)将α1,α2,…αn施密特正交化
β1 = α1
β2 = α2 - [(β1,α2)/(β1,β1)]*β1
β3 = α3 - [(β1,α3)/(β1,β1)]*β1 - [(β2,α3)/(β2,β2)]*β2
…
(2)将β1、β2、β3…βn单位化
q1 = β1 / ||β1||
q2 = β2 / ||β2||
q3 = β3 / ||β3||
…
(3)
Q = [q1,q2,q3…qn]
R=( ∣ ∣ β 1 ∣ ∣ [ ( β 1 , α 2 ) / ( β 1 , β 1 ) ] ∗ ∣ ∣ β 1 ∣ ∣ [ ( β 1 , α 3 ) / ( β 1 , β 1 ) ] ∗ ∣ ∣ β 1 ∣ ∣ . . . [ ( β 1 , α n ) / ( β 1 , β 1 ) ] ∗ ∣ ∣ β 1 ∣ ∣ 0 ∣ ∣ β 2 ∣ ∣ [ ( β 2 , α 2 ) / ( β 2 , β 2 ) ] ∗ ∣ ∣ β 2 ∣ ∣ . . . [ ( β 2 , α n ) / ( β 2 , β 2 ) ] ∗ ∣ ∣ β 2 ∣ ∣ 0 0 ∣ ∣ β 3 ∣ ∣ . . . [ ( β 3 , α 2 ) / ( β 3 , β 3 ) ] ∗ ∣ ∣ β 3 ∣ ∣ 0 0 0... ∣ ∣ β n ∣ ∣ \begin{matrix} ||β1||& [(β1,α2)/(β1,β1)]*||β1||& [(β1,α3)/(β1,β1)]*||β1||...& [(β1,αn)/(β1,β1)]*||β1||\\ 0&||β2||& [(β2,α2)/(β2,β2)]*||β2||...&[(β2,αn)/(β2,β2)]*||β2||\\ 0&0&||β3||...&[(β3,α2)/(β3,β3)]*||β3||\\ 0&0&0...&||βn||\\\end{matrix} ∣∣β1∣∣000[(β1,α2)/(β1,β1)]∗∣∣β1∣∣∣∣β2∣∣00[(β1,α3)/(β1,β1)]∗∣∣β1∣∣...[(β2,α2)/(β2,β2)]∗∣∣β2∣∣...∣∣β3∣∣...0...[(β1,αn)/(β1,β1)]∗∣∣β1∣∣[(β2,αn)/(β2,β2)]∗∣∣β2∣∣[(β3,α2)/(β3,β3)]∗∣∣β3∣∣∣∣βn∣∣)

QR分解例题

奇异值分解(SVD分解)

A是m*n矩阵，且rank(A) = r,则存在m阶酉矩阵V和n阶酉矩阵U，使
V^HAU = ( Σ 0 0 0 \begin{matrix} \Sigma&0\\ 0&0\\\end{matrix} Σ000)
其中Σ = diag(σ1,σ2,σ3…σr) , σi为A的正奇异值，且σ1>=σ2>=σ3>=…σr>0

分解方法

(1)由特征多项式|λE - A^HA|求得特征值λ1>=λ2>=…λn(务必从大到小排列)及每个特征值对应的特征向量(α1,α2,…αn)
(2)对特征向量进行施密特正交化和单位化，得正交向量组
V=(V1,V2,V3…Vn)
(3)对非零特征值λ1,λ2,…λn对应的奇异值σ1,σ2,σ3…σr有
Ui=1/σi * A * Vi，得到r个列向量，剩余的Ur+1…Un通过Ui^Tx=0求得（Ui必须是标准正交的）
得 A = U * Σ * V^H

奇异值分解例题

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