直观理解：为什么A为 n 阶满秩方阵时，Ax＝0 只有零解？

本篇博客仅记录一下我个人思考的一点想法，方便以后回顾。并不严谨，希望给大家提供一点直观的理解。

通过上边的变形，我们可以看出AxAxAx的本意就是用x=[x1x2...xn]x=[x_{1} x_{2} ... x_{n}]x=[x1x2...xn]作为系数对AAA的列向量[A1A2...An][A_{1} A_{2} ... A_{n}][A1A2...An]进行重新组合得到一个新向量。例如，我们从原点出发，先加上3倍的x轴单位向量[1,0,0][1,0,0][1,0,0]，再加上2倍的y轴单位向量[0,1,0][0,1,0][0,1,0]，最后再加上1倍的z轴单位向量[0,0,1][0,0,1][0,0,1]，最终运动到点[3,2,1]处，[3,2,1]处，[3,2,1]处，如下图所示：

上述这个例子表述成Ax=bAx=bAx=b的形式就是：

我们分别用x=[3,2,1]x=[3, 2, 1]x=[3,2,1]作为倍数对 AAA的三个列向量[1,0,0]、[0,1,0]、[0,0,1][1,0,0]、[0,1,0]、[0,0,1][1,0,0]、[0,1,0]、[0,0,1]进行排列组合，组合得到的新向量就是bbb。

现在我们来看Ax=0Ax=0Ax=0的意思就是：从原点[0,0,0][0,0,0][0,0,0]出发，先加上x1x_{1}x1倍的AAA的列向量A1A_{1}A1，再加上x2x_{2}x2倍的AAA的列向量A2A_{2}A2，以此类推，当我们最后加上xnx_{n}xn倍的AAA的列向量AnA_{n}An时，得到的新向量要回到原点[0,0,0][0,0,0][0,0,0]。这可不可能呢？

显然，当AAA为n阶满秩方阵时，AAA的n个列向量均线性无关，这时我们总能把A化成一个单位矩阵的形式。我们就把AAA作为单位矩阵来考虑，AAA的每一个列向量就代表一条坐标轴方向，一旦我们沿着x轴向前走一段距离后，y轴和z轴中是不存在x方向上的分量让我们再走回原点的。对于A的任何一个列向量都是这样，一旦对应的xnx_{n}xn不等于0，就等于沿着这条坐标轴走了一段距离，其他坐标轴是不可能再让你走回原点的。由此可知，只有x=[x1,x2,...,xn]x=[x_{1}, x_{2},...,x_{n}]x=[x1,x2,...,xn]中的每一个分量都等于0，也就是压根不从原点出发，才可能使组合得到的新向量还在原点。

当AAA不满秩时，如秩为n-1，相当于AAA的列向量形成的线性空间中有n-1条正交基，这n-1条正交基相互是没有对方分量的，也就是走出原点之后是回不来的。但是第n条列向量是前边n-1条正交基的线性组合，是可以让你走回来的。所以x中的部分分量可以不为0，也就是左拐右拐最后可以走回原点，也即不满秩的时候可以有非零解。

直观理解：为什么A为 n 阶满秩方阵时，Ax＝0 只有零解？相关推荐

线性代数的直观理解 -- Intuition in Linear Algebra
受<理解线性代数>启发,结合自身学习的经验,直观的总结我对线性代数的理解.强调直观是因为在这里不纠缠于数学的严谨性,所以如果追求数学严谨性和证明的还是去看教材比较好. 统计的目标是对数表内 ...
矩阵论（零）：线性代数基础知识整理（1）——逆矩阵、（广义）初等变换、满秩分解
矩阵论专栏:专栏(文章按照顺序排序) 线性代数是矩阵论的先修课程,本篇博客整理线性代数的基础理论知识,为矩阵论的学习做准备.限于篇幅,梳理的重点将在定理和结论上(只给出部分必要的定义),对最基础的概念 ...
方阵可逆，方阵行列式≠0，方阵满秩三者关系推导
首先明确这三者是等价的. 接下来我们得先明确概念的定义: ①方阵可逆:即方阵存在逆阵,使:AA^-1=E; ②矩阵行列式:即由矩阵的全部元素构成的行列式; ③方阵的秩:等于方阵n个列向量所构成的向量组 ...
n阶非零矩阵AB，矩阵AB=0，则A和B的秩都小于n
设A,B是两个n阶非零方阵,且AB=0,则A和B的秩都小于n 证明: ∵AB=0∵AB=0 ∵AB=0 ∴B的每一个列向量(每一列)都是方程AX=0的解∴B的每一个列向量(每一列)都是方程AX=0的解 ...
梯度的直观理解_关于梯度、旋度和散度的直观理解
关于梯度.旋度和散度的直观理解散度为零,说明是无源场:散度不为零时,则说明是有源场(有正源或负源) 若你的场是一个流速场,则该场的散度是该流体在某一点单位时间流出单位体积的净流量. 如果在某点,某场 ...
BP反向传播算法的思考和直观理解 -卷积小白的随机世界
https://www.toutiao.com/a6690831921246634504/ 2019-05-14 18:47:24 本篇文章,本来计划再进一步完善对CNN卷积神经网络的理解,但在对卷积 ...
RNN循环神经网络的直观理解：基于TensorFlow的简单RNN例子
RNN 直观理解一个非常棒的RNN入门Anyone Can learn To Code LSTM-RNN in Python(Part 1: RNN) 基于此文章,本文给出我自己的一些愚见基于此文 ...
3.7 注意力模型直观理解-深度学习第五课《序列模型》-Stanford吴恩达教授
注意力模型直观理解 (Attention Model Intuition) 在本周大部分时间中,你都在使用这个编码解码的构架(a Encoder-Decoder architecture)来完成机器翻 ...
3.10 直观理解反向传播-深度学习-Stanford吴恩达教授
←上一篇 ↓↑ 下一篇→ 3.9 神经网络的梯度下降法回到目录 3.11 随机初始化直观理解反向传播 (Backpropagation Intuition (Optional)) 这个视频主要是推 ...

直观理解：为什么A为 n 阶满秩方阵时，Ax＝0 只有零解？

直观理解：为什么A为 n 阶满秩方阵时，Ax＝0 只有零解？相关推荐

最新文章

热门文章