20220312 矩阵求逆引理

如果对任一 n×nn \times nn×n 阶非奇异矩阵 A\boldsymbol{A}A 与任意两个 n×mn \times mn×m 阶矩阵 B\mathbf{B}B 和 C\mathbf{C}C, 且矩阵 (A+BCT)\left(\mathbf{A}+\mathbf{B C}^{\mathrm{T}}\right)(A+BCT) 与 (I+CTA−1B)\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}\right)(I+CTA−1B) 是非奇异的, 则矩阵恒等式
(A+BCT)−1=A−1−A−1B(I+CTA−1B)−1CTA−1\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\right)^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}-\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}\left(\mathbf{I}+\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{B}\right)^{-1} \mathbf{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1} \quad(A+BCT)−1=A−1−A−1B(I+CTA−1B)−1CTA−1成立。

证明：
定义下列 n×nn \times nn×n 阶矩阵:
D=A+BCT\boldsymbol{D}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}D=A+BCT根据假定，DDD 是非奇异的, 可用 D−1D^{-1}D−1 左乘上式，得
D−1D=I=D−1A+D−1BCT\boldsymbol{D}^{-1} \boldsymbol{D}=\boldsymbol{I}=\boldsymbol{D}^{-1} \boldsymbol{A}+\boldsymbol{D}^{-1} \boldsymbol{B C}^{\mathrm{T}} D−1D=I=D−1A+D−1BCT用 A−1A^{-1}A−1 右乘上式，得
A−1=D−1+D−1BCTA−1\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{D}^{-1}+\boldsymbol{D}^{-1} \boldsymbol{B C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1} A−1=D−1+D−1BCTA−1或
D−1BCTA−1=A−1−D−1\boldsymbol{D}^{-1} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}-\boldsymbol{D}^{-1}D−1BCTA−1=A−1−D−1用 B\boldsymbol{B}B 右乘上式两边，得
A−1B=D−1B+D−1BCTA−1B=D−1B(I+CTA−1B)\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{D}^{-1} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{D}^{-1} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{D}^{-1} \boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}\right)A−1B=D−1B+D−1BCTA−1B=D−1B(I+CTA−1B)因为已假定矩阵 (I+CTA−1B)\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}\right)(I+CTA−1B) 是非奇异的, 可用 (I+CTA−1B)−1\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}\right)^{-1}(I+CTA−1B)−1 右乘上式，得
D−1B=A−1B(I+CTA−1B)−1\boldsymbol{D}^{-1} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}\right)^{-1}D−1B=A−1B(I+CTA−1B)−1用 CTA−1\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1}CTA−1 右乘上式，得
D−1BCTA−1=A−1B(I+CTA−1B)−1CTA−1\boldsymbol{D}^{-1} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}\right)^{-1} \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1}D−1BCTA−1=A−1B(I+CTA−1B)−1CTA−1进一步A−1−D−1=A−1B(I+CTA−1B)−1CTA−1\boldsymbol{A}^{-1}-\boldsymbol{D}^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}\right)^{-1} \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1} A−1−D−1=A−1B(I+CTA−1B)−1CTA−1 或 D−1=A−1−A−1B(I+CTA−1B)−1CTA−1\boldsymbol{D}^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}-\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}\right)^{-1} \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1}D−1=A−1−A−1B(I+CTA−1B)−1CTA−1但 D=A+BCT\boldsymbol{D}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}D=A+BCT，因此有(A+BCT)−1=A−1−A−1B(I+CTA−1B)−1CTA−1\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} C^{\mathrm{T}}\right)^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}-\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}\right)^{-1} \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1}(A+BCT)−1=A−1−A−1B(I+CTA−1B)−1CTA−1证毕。

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