再探矩阵求逆引理 : Woodbury恒等式的证明

在之前的许多次接触中感到了矩阵求逆引理的强大可谓在通信中无处不在。然而稍显繁琐的表达式让我总是没能完整记忆，每次都要对着矩阵论的书才得以使用。痛定思痛，恰好今天看了维基上对其的介绍，觉得太过优雅，就以这篇博客记录一下。

Woodbury 恒等式：
(A+UCV)−1=A−1−A−1U(C−1+VA−1U)−1VA−1(A+U C V)^{-1}=A^{-1}-A^{-1} U\left(C^{-1}+V A^{-1} U\right)^{-1} V A^{-1} (A+UCV)−1=A−1−A−1U(C−1+VA−1U)−1VA−1

我直接无脑记忆的方法是先把A和C换位加逆，U和V换位，得到右式中间那项，然后U,V各自乘在远离自己的一侧，左右外层再各套上A的逆。。

接下来介绍维基给出的精彩证明。

我们首先证明两个恒等式：

(I+P)−1=I−(I+P)−1P=I−P(I+P)−1(I+P)^{-1}=I-(I+P)^{-1} P=I-P(I+P)^{-1} (I+P)−1=I−(I+P)−1P=I−P(I+P)−1

证明如下：I=(I+P)−1(I+P)=(I+P)−1+(I+P)−1PI=(I+P)^{-1}(I+P)=(I+P)^{-1}+(I+P)^{-1} P I=(I+P)−1(I+P)=(I+P)−1+(I+P)−1P
第二个恒等式：

(I+UV)−1U=U(I+VU)−1(I+U V)^{-1} U=U(I+V U)^{-1} (I+UV)−1U=U(I+VU)−1
也叫作push-through identity。

注意到这个恒等式本身也很有用，例如有个m×nm\times nm×n的矩阵H\mathbf{H}H，其中m≫nm\gg nm≫n，那么：
(I+HHH)−1H=HH(I+HHH)−1(I+HH^H)^{-1}H=H^H(I+H^HH)^{-1}(I+HHH)−1H=HH(I+HHH)−1
这样就将对m×mm\times mm×m的矩阵求逆变为了对n×nn\times nn×n的矩阵求逆，大幅降低了复杂度。

证明如下：显然有U(I+VU)=(I+UV)UU(I+V U)=(I+U V) U U(I+VU)=(I+UV)U
两边均乘以(I+UV)−1(I+U V)^{-1}(I+UV)−1和(I+VU)−1(I+V U)^{-1}(I+VU)−1即得结论。

结合这两恒等式，我们有：

(I+UV)−1=I−U(I+VU)−1V(I+U V)^{-1}=I-U(I+V U)^{-1} V (I+UV)−1=I−U(I+VU)−1V

事实上这已经是最后Woodbury公式的简化版了，将U=A−1UU=A^{-1}UU=A−1U，V=CVV=CVV=CV代入，有：

(I+A−1UCV)−1=I−A−1U(I+CVA−1U)−1CV(I+A^{-1}U CV)^{-1}=I-A^{-1}U(I+CVA^{-1}U)^{-1} CV (I+A−1UCV)−1=I−A−1U(I+CVA−1U)−1CV

式子两边均乘以A−1A^{-1}A−1，有:

(A+UCV)−1=A−1−A−1U(C−1+VA−1U)−1VA−1(A+U C V)^{-1}=A^{-1}-A^{-1} U\left(C^{-1}+V A^{-1} U\right)^{-1} V A^{-1} (A+UCV)−1=A−1−A−1U(C−1+VA−1U)−1VA−1

也即Woodbury求逆公式。

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