leetcode-300 最长上升子序列

题目描述：
给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。

说明:
可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
你算法的时间复杂度应该为 O(n^2) 。

方法一（暴力法）：
即针对数组的每一个元素都有两种选择，取或者不取（取的前提是当前元素大于上一个元素，则上升子序列++），最终递归到最后的一个元素，将结果返回。

实现如下：

int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {return get_lengthOfLIS(nums, -1, 0);
}
int get_lengthOfLIS(vector<int> &num, int prev, int curr) {if(curr == num.size()) {return 0;}int taken = 0;if(num[curr] > prev) {taken = get_lengthOfLIS(num, num[curr], curr+1);}int notaken = get_lengthOfLIS(num, prev, curr+1);return max(taken, notaken);
}

但是因为暴力解法的时间复杂度较高，针对每个元素都有两种选择，时间复杂度为O(2^n)

方法二（DP动态规划）：

状态的定义
dp[i] 代表以当前元素 nums[i]结尾（最长上升子序列包括nums[i]）的最长上升子序列的大小
状态转移方程
dp[i] = (nums[i] > nums[j]) ? max{dp[0]…dp[j]} + 1 ,1; (j>=0 && j < i)
以上方程的意思是，找到所有nums[i]左侧比nums[i]小的元素的个数，在其基础上+1

实现如下:

int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {if(nums.size() <= 1) return nums.size();vector<int> dp(nums.size(),0);int res = 1,i = 1, j = 0;dp[0] = 1;for(i = 1;i < nums.size(); ++i) {dp[i] = 1;for (j = 0;j < i; ++j) {if(nums[i] > nums[j] && dp[i] < dp[j] + 1) { //找到nums[i]左边比nums[i]小的元素，取它的dp[j] + 1给到dp[i]dp[i] = dp[j]+1;}}if(res < dp[i]) { //res取最大即可res = dp[i];}}return res;
}

以上方法的时间复杂度为O(n^2)，j的遍历的层数和i的个数基本一致

方法三（递增栈 + 二分）：
维护一个持续递增的栈，元素添加进来有两种规则：

当要添加的元素大于栈顶元素，则压栈
当要添加的元素小于栈顶元素，那么在栈中找到该元素的插入位置，将其替换该位置的元素

只有当满足第一中情况的时候栈的大小才会增加，否则栈的大小是固定的，优化的办法是使用二分法查找待插入的位置

实现如下：

int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {if (nums.size() == 0) return 0;vector<int> stack;//使用vector代替栈stack.push_back(nums[0]);for (int i = 1;i < nums.size(); ++i) {if (nums[i] > stack.back()) {stack.push_back(nums[i]);} else {int pos = binary_search(stack,nums[i]);stack[pos] = nums[i];}}return stack.size();
}//二分查找，返回待插入元素的下标
int binary_search(vector<int> &stack,int target) {int index = -1;int begin = 0;int end = stack.size() - 1;while (index == -1) {int mid = (begin + end) / 2;if (target == stack[mid]) {index = mid;} else if (target < stack[mid]) {if (mid == 0 || target > stack[mid - 1]) {index = mid;}end = mid - 1;} else {if (mid == stack.size() - 1 || target < stack[mid + 1] ) {index = mid + 1;}begin = mid + 1;}}return index;
}

时间复杂度为O(N*logn)，遍历n次，每次二分查找的时间复杂度是logn

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