数据结构（5） -- 图

5.4 图的应用

图的应用主要包括：最小生成树、最短路径、拓扑排序和关键路径

5.4.1 最小生成树(MST)

连通图的生成树：图的极小连通子图，包含图中所有顶点，只含尽可能少的边。若砍去最小生成树的一条边，使生成树变成非连通图，加上一条边，会形成一条回路。

最小生成树：边权值最小的那棵生成树

最小生成树不唯一，但权值唯一，且是最小的。
算法：prim算法/kruskal算法，都是基于贪心算法
prim算法：
1. 假设N={V,E}是连通网，ET是N上最小生成树边的集合。算法从VT-{u0}，ET={}开始，重复执行：在所有u∈VT,v∈V-VT的边（u0，v0）∈E中找一条权值最小的边，将此边加入ET，将v0加入VT，知道VT=V为止。
2. 该算法时间复杂度O(|v2|)，不依赖E，适用于求解边稠密的图的最小生成树
kruskal算法：
1. 初始化：VT=V，ET=∅，每个顶点构成一棵独立的树
2. 循环：按G的边权递增顺序依次从E-ET选一条边，若加入边后不构成回路，则加入ET，否则舍弃。
3. 通常采用堆来存放边的集合，每次选择最小权值的边只需要O(log|E|)，可以采用并查集的数据结构表示T，构造T的复杂度为O(|E|log|E|)
4. 适合边稀疏，顶点较多的图

5.4.2 最短路径

带权路径长度最短的路径称最短路径。求解最短路径的算法通常依赖一性质：两点之间的最短路径也包含了路径上其他顶点间的最短路径。一般分单源最短路径(某点到其他点的最短路径)和每对顶点间的最短路径。

问题：对任意给出的图G(V,E)和起点s，终点t，如何求S到T的最短路径。

解决最短路径问题的常用算法有 Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、SPFA算法和Floyd算法。

1. Dijkstra算法

思想：对图G设定集合S，存放已经访问过的集合。然后从V-S中选择与起点s距离最短的顶点记为u，访问并加入集合S。之后，令顶点u为中介点，优化起点s与所有从u出发能到达的顶点v之间的最短距离。执行n次，直到集合S包含所有顶点。

算法具体实现：

（1）集合S可以用一个bool数组vis[]表示，当vis[i]=true时表示顶点Vi已被访问。

（2）令int型数组d[]表示起点s到达顶点Vi的最短距离，起始时除了起点s的d[s]=0，其余顶点都赋为一个很大的数。

Dijkstra也基于贪心策略，时间复杂度O(|V2|)，若要求解每对顶点之间的最短距离，需要对每个顶点运行一次dijkstra算法，复杂度O(|V3|)

注：Dijkstra只能应对所有边权都是非负数的情况，如果边权出现负数，那么Dijkstra算法可能会出错。

//伪代码
Dijkstra(G,d[],s){初始化；for(循环n次){u = 使d[u]最小的还未被访问的顶点的标号；记u被访问；for(从u出发能到达的所有顶点v){if(v未被访问&&以u为中介使s到顶点v的最短距离d[v]更优){优化d[v];}}
}

2. Bellman-Ford算法和SPFA算法

Bellman-Ford算法（BF算法）可解决单源最短路径问题，但能处理有负边权的情况。

现在考虑环，从某个顶底出发，经过若干不同的顶点之后可以回到该顶点的情况。根据环中边的边权之和的正负分零环、正环、负环。零环和正环不会影响最短路径的求解；而如果有负环，且从源点可以到达，就会影响求解，但如果负环无法从源点出发到达，则最短路径的求解不会受到影响。

思想：BF算法设置一个数组d，存放从源点到达各个顶点的最短距离。同时BF算法返回一个bool值：若存在从源点可到达的负环，返回false；否则返回true，此时数组d存放的值就是从源点到达各顶点的最短距离。

具体实现：

对图中边进行V-1轮操作，每轮都遍历图中所有的边：对每条边u->v，若以u为中介点能使d[v]更小，就更新。

for(i = 0; i < n-1; i++){for(each edge u—>v){if(d[u]+length[u->v] < d[v]){d[v] = d[u] + length[u->v];}}
}

此时，若无从源点可到达的负环，则数组d所有值都达到了最优。因此，只需再对所有边进行一轮操作，判断是否有某条边u->v仍然可以更新，若有，则说明图中有从源点可达的负环，返回false；否则，说明d数组已达到最优。

BF算法时间复杂度为O(VE)

虽然BF算法思路简洁，但时间复杂度很高。BF算法每轮操作都操作所有的边，显然有很多无意义的操作。注意到，只有当某个顶点u的d[u]值改变时，从它出发的边的邻接点v的d[v]值才有可能改变。由此可以进行优化：建立一个队列，每次取出队首u，对从u出发的边进行松弛。如果可松弛则进行覆盖。如果v不在队列，则加入队列。这样操作直到队空（说明无从源点可达的负环），或某个顶点的入队次数超过v-1，说明有可达负环。这样优化后的算法叫做SPFA算法。它期望的时间复杂度是O(kE)

queue<int> Q;
源点s入队;
while(队非空){取出队首元素u;for(u的所有邻接边u->v){if(d[u]+dis<d[v]){d[v] = d[u]+dis;if(v不在Q){v入队；if(v入队次数大于n-1){说明有可达负环，return；}}}}
}

3. Floyd算法

解决全源最短路问题。时间复杂度O(n^3)，限制顶点数n在200以内。

枚举顶点k∈[1,n]以顶点k为中介点，枚举所有顶点对i和j（i∈[1,n],j∈[1,n]）如果 dis[i][k]+dis[k][j] < dis[i][j]成立赋值 dis[i][j] = dis[i][k]+dis[k][j]

5.4.3 拓扑排序

有向无环图：若一个有向图中不存在环，称DAG图

AOV网：DAG表示一个工程，顶点表示活动，有向边<vi, vj>表示活动vi必须先于vj进行。称顶点表示活动的网络，记为AOV网，拓扑排序复杂度O(|V|+|E|)

AOE网：在带权有向图中，以顶点表示事件，有向边表示活动，边上的权值表示完成该活动所需开销。

最大路径：源点到汇点的所有路径中，具有最大路径长度的路径称关键路径，关键路径上的活动称关键活动。

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