镖局运镖（最小生成树 Kruskal）

7-11 镖局运镖（30 分）

镖局的运镖，就是运货（类似现在的物流）。镖局每到一个新地方开展业务，都需要对运镖途中的绿林好汉进行打点。好说话的打点费就比较低，不好说话的打点费就比较高。龙门镖局现在有一趟镖请你来规划路线，已知城市的地图，你需要选择一些道路进行疏通，以便镖局可以到达任意一个城市，要求花费的银子越少越好。

输入格式:

第一行有两个数n和m，n表示有n个城市（编号从1到n），m表示有m条道路。接下来m行，每行形如“a b c”用来表示一条道路，意思是城市a到城市b连通且打点需要花费的银子数是c。

输出格式:

若通过打点能抵达所有城市，则输出最少需要花费的银子总数。若不能抵达所有的城市则输出“impossible”。

输入样例:

输出样例:

题目大意：一个无向图有n个点，给你m条线段信息，表示两点之间的距离。现在求最小的路径总长度，将这n个点连成一个连通图，其实就是求最小生成树。

最小生成树有两种算法：Kruskal和Prim算法。两种方法求出来的结果一定都是最小生成树（最小生成树可能不唯一，但是最短总路径一定一样的），但是两种方法思路不一样，使用场合也不同。

Kruskal是不断地在找最小边，Prim是找距离生成树权值最小的点。Kruskal主要找边，Prim主要找点，这就决定了当边少的时候，就用Kruskal；当点少的时候，就用Prim。专业的说，Kruskal适合稀疏图，Prim适合稠密图。

（如果想达到最佳时间，其实应该两种方法都用，先判断一下给出的是稀疏图还是稠密图。忘了在哪里看到的）

Kruskal思想很简单，就是将边从小到大排序，从小的开始找，如果这条边的两个点不在一棵树上，那么将这两个点连接起来；如果两个点在一棵树上，跳过，继续找下一个边......重复进行，直到增加的边的数量达到n-1条。因为n个点的最小生成树的线段一定有n-1个边。

在判断是否是一棵树上的时候，用到了并查集。写这道题的时候，将Union函数中的f[a]=b写成了a=f[b]，debug的时候还在奇怪我的并查集怎么没有用？？还是对并查集理解不够熟练吧。

并查集的核心

int Find(int x)
{if(x==f[x]) return x;else return f[x]=Find(f[x]); //路径压缩
}void Union(int x,int y)
{int a=Find(x),b=Find(y);if(a!=b) f[a]=b;
}for(int i=1;i<=n;i++) //初始化f数组f[i]=i;

这道题可能搜不到，但是网上有很多题目描述不一样，但是实质是一样的题目。这题是天梯赛学校选拔时候出的，我当时学会了Dijstra算法，想着和Prim差不多，应该可以现场写出来（我对Prim和Kruskal仅限于理解含义，代码从没写过）。浪费了30分钟在这道题上，这次让我下定决心把图论学到扎实，做到遇到图论可以有思路，不浪费时间地解决问题。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>using namespace std;
const int Max = 1000010;int f[Max];
int n,m,x,y;int Find(int x)
{if(x==f[x]) return x;else return f[x]=Find(f[x]);
}void Union(int x,int y)
{int a=Find(x),b=Find(y);if(a!=b) f[a]=b;
}struct node
{int x,y,step;
};
node a[Max];bool cmp(node a,node b)
{return a.step<b.step;
}void kruskal()
{for(int i=1;i<=n;i++)//并查集f数组初始化f[i]=i;for(int i=0;i<m;i++){cin>>a[i].x>>a[i].y>>a[i].step;}sort(a,a+m,cmp);//按路径长度从小到大排序int sum=0,t=0;//sum为最小路径总和，t为已经添加了的路径条数for(int i=0;i<m;i++){if(t==n-1) break;//最小生成树的路径有n-1条if(Find(a[i].x)!=Find(a[i].y)) {sum +=a[i].step;Union(a[i].x,a[i].y);t++;}}if(t==n-1)cout<<sum<<endl;else cout<<"impossible";
}int main()
{cin>>n>>m;kruskal();return 0;
}

网上找的其他比较复杂的测试用例

6 10
1 2 16
1 6 21
1 5 19
2 3 5
2 4 6
2 6 11
3 4 6
6 4 14
5 4 18
5 6 33答案：56