【机器人学】机械臂球形手腕的逆解

如图1所示的球形手腕(三个关节的轴线相交于一点)是常用的机械臂结构，我们希望在已知坐标系3至坐标系6的旋转矩阵的条件下求解3个关节值q3q3q_{3},q4q4q_{4},q6q6q_{6}。旋转矩阵可通过欧拉角集合、四元数或直接用3×3的矩阵给出。

图1 典型腕关节结构

假设现在已知的旋转矩阵为：

R63=⎡⎣⎢nxnynzsxsyszaxayaz⎤⎦⎥R36=[nxsxaxnysyaynzszaz]

R_{3}^{6}=\left[ \begin{matrix}{{n}_{x}} _{x}} _{x}} \\{{n}_{y}} _{y}} _{y}} \\{{n}_{z}} _{z}} _{z}} \\ \end{matrix} \right]

q3q3q_{3},q4q4q_{4},q6q6q_{6}的值为：
当q5∈(0，π)q5∈(0，π){{q}_{5}}\in \left( 0，\pi \right)

q4=atan2(ay,ax)q5=atan2(ax2+ay2−−−−−−−−√,az)q6=atan2(sz,−nz)(205)(206)(207)(205)q4=atan⁡2(ay,ax)(206)q5=atan⁡2(ax2+ay2,az)(207)q6=atan⁡2(sz,−nz)

\begin{align}_{4}}=\operatorname{atan}2\left( {{a}_{y}},{{a}_{x}} \right) \\ _{5}}=a\tan 2\left( \sqrt{{{a}_{x}}^{2}+{{a}_{y}}^{2}},{{a}_{z}} \right) \\ _{6}}=a\tan 2\left( {{s}_{z}},-{{n}_{z}} \right) \\ \end{align}
当 q5∈(−π，0)q5∈(−π，0){{q}_{5}}\in \left( -\pi ，0 \right)

q4=atan2(−ay,−ax)q5=atan2(−ax2+ay2−−−−−−−−√,az)q6=atan2(−sz,nz)(208)(209)(210)(208)q4=atan⁡2(−ay,−ax)(209)q5=atan⁡2(−ax2+ay2,az)(210)q6=atan⁡2(−sz,nz)

\begin{align}_{4}}=\operatorname{atan}2\left( -{{a}_{y}},-{{a}_{x}} \right) \\ _{5}}=a\tan 2\left( -\sqrt{{{a}_{x}}^{2}+{{a}_{y}}^{2}},{{a}_{z}} \right) \\ _{6}}=a\tan 2\left( -{{s}_{z}},{{n}_{z}} \right) \\ \end{align}

参考文献：
布鲁诺・西西里安诺.《机器人学：建模，规划和控制》西安交通大学出版社 2015

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