Heap和Heapify
最近复习数据结构,又回去再看塞神的课件,看到PriorityQueue的实现。自己也根据塞神的代码写一写。
下面使用Binary Heap实现了一个简单的 Max-oriented PriorityQueue。
- 这里Binary Heap我们使用的是array represetation,数组形式。
- 第0个元素我们留空,从第一个元素开始存储, 第一个元素也将是PQ里最大的元素。
- 特点是假如父节点位置是 k, 那么两个子节点的位置就是 2 * k 和 2 * k + 1。这样很方便计算,知道父节点很容易计算出子节点,知道子节点的位置也能立刻知道父节点的位置。
- Max Heap服从Max heap order, 即父节点的值永远大于等于子节点的值。 (但父节点的sibling可以不大于当前父节点的子节点值)
- 元素最好是implements Comparable[],否则我们还要另外写Comparator<>()
- 一开始的构造方法里,我们为简便使用了一个定长的数组。正常来说应该使用一个resizing array,以及一个load factor。
- 当load factor,也就是元素数 N / 数组长度 len = 0.75的时候,我们把数组扩容一倍,然后把之前的元素拷贝进去
- 当load factor < 0.25的时候,我们把数组减半,也要拷贝之前的元素。
- 主要的一些方法有insert(),peek(), delMax()以及isEmpty(),为了测试我也放入了一些其他方法,比如shuffle(), heapify(), 和heapSort(),下面一点点来分析各个方法。
- insert(): 每次添加元素的时候,我们都先增加PQ中元素的个数,即++N,然后把新元素x放在数组中新的这个位置上。接下来我们调用swim()方法来使PQ依然保持有序。 总复杂度是O(logn)
- swim(): 向上维护heap order。当我们发现,或者不确定数组中一个位置的元素是否符合Max heap order时,我们需要对这个位置的值进行一个swim()操作。只用考虑子节点和父节点,不用考虑sibling.
- 主要操作就是将这个子节点和其父节点进行比较,假如这个位置为k的子节点的值大于其父节点,我们交换这两个节点
- 继续比较交换后的子节点和其新的父节点, 这个可以通过 k /= 2来完成。
- 遍历在 k > 1的条件下进行。因为 k > 1的时候, k / 2最大就是1,也就是我们的最大节点
- 每次insert的时候我们可以使用swim()来保持heap order
- peek(): 我们可以直接返回最大节点elements[1],注意一些边界条件,或者这个节点不存在的时候抛出Exception
- delMax(): 删除最大节点是Max-heap的特色。 总复杂度 O(logn)
- 我们先交换最大节点和最后一个位置的节点,用N-- 将元素数N减少1, 并且将最大节点所在位置置为空 - elements[N + 1] = null。 这样可以避免loitering,避免垃圾回收机制收不到这个数组。
- 这时我们处在elements[1]位置上的元素有可能不满足Max heap order,我们执行 sink() 方法来进行处理。
- sink(): 向下维护heap order。 这时我们知道这个元素有可能和其两个子节点间都不满足Max heap order。我们在判断的时候要同时比较父节点和两个子节点间的大小。
- 假设当前父节点位置为k,那么两个可能的子节点位置为 2 * k 和 2 * k + 1。我们要先判断左子节点是否存在,也就是 2 * k 是否 <= N
- 在左子节点存在的条件下,我们设置 j = 2 * k,接下来我们判断右子节点是否存在,即 j是否 < N, 假如右子节点存在,我们比较左右子节点的大小,并且尝试更新j 为较大子节点的index值
- 接下来我们判断是否较大的子节点大于父节点的值, 假如为否,elements[j] < elements[k], 那么我们直接break
- 否则,我们交换 k 和 j - swap(k, j), 并且更新k = j, 继续下一个level的sink
- isEmpty(): pq是否为空,这是我们直接判断是否 N == 0
- swap(): 交换两个节点
- shuffle(): 这里使用了knuth shuffle。就是先用seed建立一个Random, 然后遍历数组的时候生成伪随机数,与当前index进行交换。 O(n)
- heapify(): 这里是指最大heapify。 我们只需要从 k = N / 2开始, 在k >= 1的条件下对 k 进行sink(), 然后k--就可以了。
- heapSort(): 堆排序, 这里我们先对数组进行heapify(), 然后在k > 1的条件下每次把最大元素交换到数组尾部,再对位置1的元素进行sink就可以了。 in-place O(nlogn)。
public class MaxPQ {public Integer[] elements;public int N;public MaxPQ(int size) {elements = new Integer[size + 1];N = 0; // index starts with 1 }public void insert(Integer x) {elements[++N] = x;swim(N);}private void swim(int k) {while (k > 1 && elements[k] > elements[k / 2]) {swap(k, k / 2);k /= 2;}}public Integer delMax() {Integer max = elements[1];swap(1, N--);elements[N + 1] = null;sink(1);return max;}private void sink(int k) {while (2 * k <= N) {int j = 2 * k;if (j < N && elements[j] < elements[j + 1]) { j++;}if (elements[j] < elements[k]) {break;}swap(k, j);k = j;}}public Integer peek() {return elements[1];}public boolean isEmpty() {return N == 0;}private void swap(int i, int j) {Integer tmp = elements[i];elements[i] = elements[j];elements[j] = tmp;}public void shuffle() { // for testingjava.util.Random rand = new java.util.Random(System.currentTimeMillis());for (int i = 1; i <= N; i++) {int r = 1 + rand.nextInt(i);swap(i, r);} }public void heapify() { // for testingfor (int k = N / 2; k >= 1; k--) {sink(k);}}public void heapSort() {heapify();int n = N;while (n > 1) {swap(1, n--);sink(1);}} }
上面是用Binary heap设计一个 Max-oriented Priority Queue, 数组是1-based。 假如遇到面试官问怎么heapify怎么办? 下面我们就对上面代码进行少许改动,变为0-based,可以直接对数组进行max - heapify。
- heapify()方法: 可以看出我们的heapify方法基本没有变化,除了把N / 2变成了数组的长度 nums.length / 2
- sink()方法 : 这里我们要注意一下边界条件。 先设置len = nums.length,这里len就相当于之前的N, 然后再进行比较的时候,我们要把每次的 j 都减1,从1-based改变为 0-based,其他代码都不需要改变
public static void heapify(int[] nums) {if (nums == null) {return;}for (int k = nums.length / 2; k >= 1; k--) {sink(nums, k);}}private static void sink(int[] nums, int k) {int len = nums.length;while (2 * k <= len) {int j = 2 * k;if (j < len && nums[j - 1] < nums[j]) {j++;}if (nums[k - 1] > nums[j - 1]) {break;}swap(nums, k - 1, j - 1);k = j;}}private static void swap(int[] nums, int i, int j) {int tmp = nums[i];nums[i] = nums[j];nums[j] = tmp;}
Test Client:
public static void main(String[] args) {int len = 10;int[] nums = new int[len];for (int i = 0; i < len; i++) {nums[i] = i + 1; }shuffle(nums);for (int i : nums) {System.out.print(i + " ");}heapify(nums);System.out.println();for (int i : nums) {System.out.print(i + " ");}}
Reference:
http://algs4.cs.princeton.edu/24pq/
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