heap python_数据结构-堆(Heap) Python实现
堆(Heap)可以看成近似完全二叉树的数组,树中每个节点对应数组中一个元素。除了最底层之外,该树是完全充满的,最底层是从左到右填充的。
堆包括最大堆和最小堆:最大堆的每一个节点(除了根结点)的值不大于其父节点;最小堆的每一个节点(除了根结点)的值不小于其父节点。
本文以最大堆为例,先直观感受一下堆的样子:
图片来源
最大堆
树中节点内的值表示存储的值,节点旁边的值表示该节点在数组中的下标。
观察上图不难发现,对于一个给定节点的下标i,其父节点、左孩子、右孩子的下标为:
parent(i): (i + 1) // 2 - 1
left(i): i * 2 + 1
right(i): i * 2 + 2
其中“//”表示除法后只取整数部分。
对于一个给定的数组,如何转化为堆呢?
对于一个任意节点,如果该节点大于左孩子和右孩子,则该节点无需移动。否则,和左右孩子中较大的那个交换位置,于是该节点满足大于左右孩子了,但是刚被交换了的孩子节点需要继续比较它的左右孩子......整个过程递归进行下去,我们可以轻松计算出:对于根节点,在进行转化成堆的过程中,最多需要交换h次(h为树的高度),对于树种的每个节点,如果都进行此操作,则整个过程的时间复杂度为:O(nlogn)。(n为节点数,logn≈h)
代码如下:
def heapify(self):
for i in range((len(self.heap) + 1) // 2 - 1, -1, -1):
self.max_heapify_top(i)
def max_heapify_top(self, i):
"""
从上到下
O(logn)
"""
left = i * 2 + 1
right = i * 2 + 2
if left < len(self.heap) and self.heap[left] > self.heap[i]:
largest = left
else:
largest = i
if right < len(self.heap) and self.heap[right] > self.heap[largest]:
largest = right
if largest != i:
self.heap[largest], self.heap[i] = self.heap[i], self.heap[largest]
self.max_heapify_top(largest)
以上代码中heapify函数从(len(self.heap) + 1) // 2 - 1到0进行遍历,是因为树中的叶子节点没有孩子,因此可以看成满足堆的性质,所以无需进行heapify,所以从非叶子节点开始遍历,节约时间。
如何从堆中弹出和插入元素呢?
先说弹出。由于是最大堆,因此每次弹出需要弹出最大的元素,那就是根节点,如何弹出后还保持堆的性质呢。具体做法是:先将树中根节点和最后一个节点交换位置,对应数组中就是第一个元素和最后一个元素交换位置,然后弹出最后一个元素,在对交换位置后的根节点进行heapify,这样弹出了最大元素,同时也保持了堆的性质。
代码如下:
def pop(self):
"""
O(logn)
"""
self.heap[0], self.heap[len(self.heap) - 1] = self.heap[len(self.heap) - 1], self.heap[0]
value = self.heap.pop()
self.max_heapify_top(0)
return value
插入元素。
先将元素放在树的末尾,也是数组的末尾,再按照自下而上的顺序依次比较与父节点的大小关系,自下而上进行heapify。
代码如下:
def push(self, value):
"""
O(logn)
"""
self.heap.append(value)
self.max_heapify_button(len(self.heap) - 1)
def max_heapify_button(self, i):
"""
从下到上
O(logn)
"""
parent = (i + 1) // 2 - 1
if parent >= 0 and self.heap[parent] < self.heap[i]:
smallest = parent
else:
smallest = i
if smallest != i:
self.heap[smallest], self.heap[i] = self.heap[i], self.heap[smallest]
self.max_heapify_button(smallest)
整个堆的实现代码为:
class Heap:
def __init__(self, heap=[]):
self.heap = heap
def heapify(self):
for i in range((len(self.heap) + 1) // 2 - 1, -1, -1):
self.max_heapify_top(i)
def max_heapify_top(self, i):
"""
从上到下
O(logn)
"""
left = i * 2 + 1
right = i * 2 + 2
if left < len(self.heap) and self.heap[left] > self.heap[i]:
largest = left
else:
largest = i
if right < len(self.heap) and self.heap[right] > self.heap[largest]:
largest = right
if largest != i:
self.heap[largest], self.heap[i] = self.heap[i], self.heap[largest]
self.max_heapify_top(largest)
def max_heapify_button(self, i):
"""
从下到上
O(logn)
"""
parent = (i + 1) // 2 - 1
if parent >= 0 and self.heap[parent] < self.heap[i]:
smallest = parent
else:
smallest = i
if smallest != i:
self.heap[smallest], self.heap[i] = self.heap[i], self.heap[smallest]
self.max_heapify_button(smallest)
def pop(self):
"""
O(logn)
"""
self.heap[0], self.heap[len(self.heap) - 1] = self.heap[len(self.heap) - 1], self.heap[0]
value = self.heap.pop()
self.max_heapify_top(0)
return value
def push(self, value):
"""
O(logn)
"""
self.heap.append(value)
self.max_heapify_button(len(self.heap) - 1)
再说堆排序呢?对于一个任意的数组,进行构建堆之后,再按照顺序依次弹出堆中的元素,便得到了有序的数组。更神奇的是,在数组末尾添加一个指针,便可实现数组的原地排序(不需要额外空间)。堆排序的时间复杂度为:O(nlogn),空间复杂度为:O(1)
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