弦截法求方程根弦截法求方程弦截法求方程根弦截法求方程根

12 §3 迭代收敛的加速法 取g(x)=x3-1 , 则: 程序设计 function [f,k]= Steffensen(eps,x0) %eps是精度指标 %x0表初值 format long x(1)=x0; x(2)=x(1)-(x(1)^3-x(1)-1)^2/((x(1)^3-1)^3-2x(1)^3+x(1)+1); k=2; while abs(x(k)-x(k-1))>eps x(k+1)=x(k)-(x(k)^3-x(k)-1)^2/((x(k)^3-1)^3-2x(k)^3+x(k)+1); k=k+1; end k=k-1; f=x'; >> [f,k]= Steffensen(10^-5,1.5) f = 1.50000000000000 1.41629297458894 1.35565044147664 1.32894877728401 1.32480448904104 1.32471799396881 1.32471795724475 1.32471795724475 k = 7 >> [f,k]= diedai(10^-5,1.5) f = 1.50000000000000 1.35720880829745 1.33086095880143 1.32588377423235 1.32493936340188 1.32476001129270 1.32472594522689 1.32471947453436 1.32471824544894 1.32471801198820 1.32471796764309 1.32471795921988 1.32471795761992 1.32471795731601 1.32471795725828 k = 14 §4 牛顿法(切线法) 原理：将非线性方程线性化 —— Taylor 展开 将 f (x)在 xk 做一阶Taylor展开: ，? 在 xk 和 x 之间。 将 (x ? xk)2 看成高阶小量，则有： x y x* xk 只要 f ?C1，每一步迭代都有f ’( xk ) ? 0， 而且 ，则 x*就是 f 的根。 牛顿法事实上是一种特殊的不动点迭代,其中: 收敛 解析：由 Taylor 展开： ? 假设x*是f(x)的单根,即f(x*) = 0, f ’(x*) ? 0 则 故牛顿法在根x*的附近是二阶收敛。 * *数计学院《数值计算》课程建设组 第二章 非线性方程求根 §1 方程求根与二分法 §2 迭代法 §3 迭代收敛的加速法 §4 牛顿法 §5 弦截法与抛物线法 §6 解非线性方程组的牛顿迭代法 【本章重点】 1． 不动点迭代法及其收敛性与收敛速度。 2． Newton迭代法 【学习目标】 　本章主要掌握方程求根的不动点迭代法及其收敛 性，收敛阶及Steffensen加速迭代原理，熟练掌 握Newton法及其收敛性和Newton法应用于求平方 根和立方根。 【课前思考】 1．什么是方程f(x)=0求根的二分法？如何估计近似 根xn的误差? 2．什么是不动点迭代法？怎样判断迭代法 的收敛性？ 3．迭代法收敛速度：收敛阶定义，如何加速迭代收 敛？ 4．给出方程f(x)＝0求根的Newton法，它有何优缺点 ？如何用Newton法求方程根？ §1 方程求根与二分法 　　单个变量的方程　　　　　 　f(x)=0　 　(1.1)求根是数值计算经常遇到的问题.当f(x)为一般连续函数时，称式(2.1.1)为超越方程，如果f为多项式f(x)=a0xn+ a1xn-1+ …+ an-1x+ an　 (1.2) 若a0≠0 ,f(x)为n次多项式，此时方程(1.1)称为代数(或多项式)方程.如果x*(实数或复数)使f(x*)=0 ，则称x*为方程(1.1)的根，若f(x)= (x-x*)mg(x) ，m为正整数，且 g(x*)≠ 0 ，当m＞1时，称x*为方程(1.1)的m重根或称x*是f的m重零点.若x*是f的m重零点，且g充分光滑，则 f(x*)= f’(x*)=…= f(m-1)(x*)= 0 ， f(m)(x*) ≠ 0 。当f为式(1.2)表示的代数多项式时，根据代数基本定理可知方程(1.1)有n个根(含复根，m重根为m个根)，对n=1,2的代数方程的根是大家熟悉的。