（二）航空发动机强度与振动复习纲要

第2章轮盘的强度计算
- 2.1 轮盘的工作条件
- - 2.1.1 轮盘载荷
  - 2.1.2 轮盘破损
- 2.2 轮盘强度计算的基本方程
- - 2.2.1 计算假设
  - 2.2.2 基本方程（*）
  - - （一）平衡方程
    - （二）几何方程
    - （三）物理方程
- 2.3 弹性力学方程组的求解（*）
- - 2.3.1 位移法
  - 2.3.2 力法
- 2.4 等厚轮盘应力计算
- - 2.4.1 等温实心等厚盘应力计算
  - 2.4.2 等温空心等厚盘应力计算
  - 2.4.3 非均匀加热等厚盘
- 2.5 锥形盘
- 2.6 等强度盘
- 2.7 轮盘的许用应力
- - 2.7.1 总安全系数法

第2章轮盘的强度计算

2.1 轮盘的工作条件

2.1.1 轮盘载荷

▶轮盘强度计算中主要考虑两种负荷：安装在轮缘上的叶片质量以及轮盘本身的（离心力）和沿盘半径及厚度方向受热不均所引起的（热负荷）。

▶除离心力和热负荷外，轮盘还受到气体力、陀螺力矩、（振动负荷）、（装配应力）等。

与离心力和热负荷比较，气体力、陀螺力矩、振动负荷和装配应力都较小，而且负荷难以确定，在常规计算中，除了装配应力，其它三种载荷可暂不考虑。

☛[选择题]对于轮盘常规强度计算，有时须考虑的是（D）。
A、气体力 B、陀螺力矩 C、振动负荷 D、装配应力

☛[选择题]关于轮盘工作条件，下列各项错误的是：（D）。
A、压气机盘所受的热负荷一般可忽略

（随着发动机总压比和飞行速度的提高，压气机出口的温度已经很高，所以压气机末几级轮盘的热负荷有时不可忽略）

B、热负荷对涡轮盘的影响严重

（涡轮盘温差明显，尤其是非稳态下，热负荷很严重，难以计算，常规计算仅考虑稳态下的热负荷）

C、相对离心力和热负荷，振动负荷对轮盘影响较小
D、常规计算中，有时须考虑陀螺力矩

▶盘与轴的过盈配合，将在盘孔处产生（装配）应力。

▶常规计算中，按照轮盘处于（弹性）（弹性/塑性/弹塑性）状态进行分析。

2.1.2 轮盘破损

盘的破损可能有以下几种情况：

（a）在轮缘榫头部分断裂；（b）盘缘的径向裂纹，尤其在固定叶片的销孔处；
（c）由于材料内部缺陷（例如松孔或夹杂）导致盘中心破裂；（盘中心裂纹）
（d）▶由于盘在超温下工作，导致盘身（蠕变），甚至局部颈缩，使盘外径（增大），最后导致盘破裂。

前两种比较常见，后两种情况一旦发生，将造成严重后果。

☛[选择题]以下发动机部件破坏情况中最严重的是（B）。
A、叶片叶根折断 B、盘中心裂纹 C、轮缘榫头部分断裂 D、盘缘径向裂纹

2.2 轮盘强度计算的基本方程

2.2.1 计算假设

对轮盘几何与物理特性简化：①轴对称假设；②平面应力假设（载荷分布与温度沿轴向（厚度）不变）；③弹性假设

☛[选择题]轮盘强度计算中，需要满足的基本假设包括：（D）
A、轴对称假设 B、弹性假设 C、平面应力假设 D、 ABC全是

轮盘强度计算时，暂不考虑材料的塑性变形。（✔）

强度计算时，假设盘处于平面应力状态。（✔）

轮盘强度计算时，假设应力沿盘的厚度均匀分布。（✔）

盘强度计算时，假设盘的温度沿厚度方向变化。（✘）

▶轮盘计算时，可以作轴对称的假设，并可进一步假设盘处于（平面应力）状态。对于轮盘各环形截面上只有（径向）应力，在通过旋转中心的径向截面上只有（周向应力）。

2.2.2 基本方程（*）

由轴对称和平面应力假设可推知：盘上各点只有径向位移 u u u，周向位移为零。

（一）平衡方程

微元体的径向平衡条件：

外圆柱面径向力 d R ′ dR^{\prime} dR′+微元体离心力 d C dC dC=内圆柱径向力 d R dR dR+径向截面的周向力在径向的分力 2 d T sin ⁡ d θ 2 2dT\sin \dfrac{d\theta}{2} 2dTsin2dθ，即：
( σ r + d σ r ) ( h + d h ) ( r + d r ) d θ + ρ ω 2 h r 2 d r d θ = σ r h r d θ + σ θ h d r d θ \left( \sigma _r+d\sigma _r \right) \left( h+dh \right) \left( r+dr \right) d\theta +\rho \omega ^2hr^2drd\theta =\sigma _rhrd\theta +\sigma _{\theta}hdrd\theta (σr+dσr)(h+dh)(r+dr)dθ+ρω2hr2drdθ=σrhrdθ+σθhdrdθ
消去 d θ d\theta dθ，并略去高阶微量，整理可以得到应力分量表示的平衡微分方程：
d ( h r σ r ) − σ θ h d r + A h r 2 d r = 0 (2-1) d\left( hr\sigma _r \right) -\sigma _{\theta}hdr+Ahr^2dr=0 \tag{2-1} d(hrσr)−σθhdr+Ahr2dr=0(2-1)
h h h表示盘厚， r r r为微元体所在盘半径， σ r \sigma_r σr为径向应力， σ θ \sigma_\theta σθ为周向应力,式中 A = ρ ω 2 A=\rho \omega ^2 A=ρω2。

（二）几何方程

微元体径向应变：
ε r = ( u + d u ) − u d r = d u d r (2-2) \varepsilon _r=\frac{\left( u+du \right) -u}{dr}=\frac{du}{dr}\tag{2-2} εr=dr(u+du)−u=drdu(2-2)
微元体周向应变：
ε θ = 2 π ( r + u ) − 2 π r 2 π r = u r (2-3) \varepsilon _{\theta}=\frac{2\pi \left( r+u \right) -2\pi r}{2\pi r}=\frac{u}{r}\tag{2-3} εθ=2πr2π(r+u)−2πr=ru(2-3)

（三）物理方程

平面应力问题中，胡克定律为：
ε r ′ = 1 E ( σ r − ν σ θ ) ε θ ′ = 1 E ( σ θ − ν σ r ) (2-4a) \begin{align} \varepsilon _{r}^{\prime}&=\frac{1}{E}\left( \sigma _r-\nu \sigma _{\theta} \right) \notag \\ \varepsilon _{\theta}^{\prime}&=\frac{1}{E}\left( \sigma _{\theta}-\nu \sigma _r \right) \notag \end{align} \tag{2-4a} εr′εθ′=E1(σr−νσθ)=E1(σθ−νσr)(2-4a)
当微元体受热膨胀时，材料要产生附加热应变，故它的物理方程应写成：
ε r = 1 E ( σ r − ν σ θ ) + α t ε θ = 1 E ( σ θ − ν σ r ) + α t (2-4b) \begin{align} \varepsilon _r&=\frac{1}{E}\left( \sigma _r-\nu \sigma _{\theta} \right) +\alpha t \notag \\ \varepsilon _{\theta}&=\frac{1}{E}\left( \sigma _{\theta}-\nu \sigma _r \right) +\alpha t \notag \end{align}\tag{2-4b} εrεθ=E1(σr−νσθ)+αt=E1(σθ−νσr)+αt(2-4b)
α \alpha α为盘材料的线膨胀系数， t t t为盘半径 r r r处的温度增量， ν \nu ν为盘材料的泊松比， E E E为盘材料的弹性模量。

2.3 弹性力学方程组的求解（*）

2.3.1 位移法

将式 ( 2 − 2 ) (2-2) (2−2)、式 ( 2 − 3 ) (2-3) (2−3)带入式 ( 2 − 4 b ) (2-4b) (2−4b)中，可以得到:
σ r = E 1 − ν 2 [ ( d u d r − α t ) + ν ( u r − α t ) ] σ θ = E 1 − ν 2 [ ν ( d u d r − α t ) + ( u r − α t ) ] (2-5) \begin{align} \sigma _r=\frac{E}{1-\nu ^2}\left[ \left( \frac{du}{dr}-\alpha t \right) +\nu \left( \frac{u}{r}-\alpha t \right) \right] \notag \\ \sigma _{\theta}=\frac{E}{1-\nu ^2}\left[ \nu \left( \frac{du}{dr}-\alpha t \right) +\left( \frac{u}{r}-\alpha t \right) \right] \notag \\ \end{align}\tag{2-5} σr=1−ν2E[(drdu−αt)+ν(ru−αt)]σθ=1−ν2E[ν(drdu−αt)+(ru−αt)](2-5)
再带入平衡方程 ( 2 − 6 ) (2-6) (2−6)中，可以得到以位移分量 u u u表示的微分方程：
d 2 u d r 2 + [ d d r ( ln ⁡ h ) + 1 r ] d u d r + [ ν r d d r ( ln ⁡ h ) − 1 r 2 ] u − ( 1 + ν ) α [ t d d r ( ln ⁡ h ) + d t d r ] + A 1 − ν 2 E r = 0 (2-6) \frac{d^2u}{dr^2}+\left[ \frac{d}{dr}\left( \ln h \right) +\frac{1}{r} \right] \frac{du}{dr}+\left[ \frac{\nu}{r}\frac{d}{dr}\left( \ln h \right) -\frac{1}{r^2} \right] u-\left( 1+\nu \right) \alpha \left[ t\frac{d}{dr}\left( \ln h \right) +\frac{dt}{dr} \right] +A\frac{1-\nu ^2}{E}r=0\tag{2-6} dr2d2u+[drd(lnh)+r1]drdu+[rνdrd(lnh)−r21]u−(1+ν)α[tdrd(lnh)+drdt]+AE1−ν2r=0(2-6)
当盘的内外径温差不大时， α \alpha α、 E E E、 ν \nu ν均可看作常数。

2.3.2 力法

联立式 ( 2 − 2 ) (2-2) (2−2)、式 ( 2 − 3 ) (2-3) (2−3)、式 ( 2 − 4 ) (2-4) (2−4)，可以分别得到不同分量的变形协调微分方程；

（一）应变分量表示的变形协调微分方程
d ε θ ′ d r + ε θ ′ − ε r ′ r + d d r ( α t ) = 0 (2-7) \frac{d\varepsilon _{\theta}^{\prime}}{dr}+\frac{\varepsilon _{\theta}^{\prime}-\varepsilon _{r}^{\prime}}{r}+\frac{d}{dr}\left( \alpha t \right) =0\tag{2-7} drdεθ′+rεθ′−εr′+drd(αt)=0(2-7)
（二）应力分量表示的变形协调微分方程
d d r ( r σ θ E ) + ν r ( r σ θ E ) = σ r E + d d r ( ν r σ r E ) − r d d r ( α t ) = 0 (2-8) \frac{d}{dr}\left( \frac{r\sigma _{\theta}}{E} \right) +\frac{\nu}{r}\left( \frac{r\sigma _{\theta}}{E} \right) =\frac{\sigma _r}{E}+\frac{d}{dr}\left( \frac{\nu r\sigma _r}{E} \right) -r\frac{d}{dr}\left( \alpha t \right) =0\tag{2-8} drd(Erσθ)+rν(Erσθ)=Eσr+drd(Eνrσr)−rdrd(αt)=0(2-8)
将变形协调方程与平衡方程联立，结合边界条件，便可以解出 σ r \sigma_r σr、 σ θ \sigma_\theta σθ。

应力边界条件适合力法，位移边界条件适合位移法。

2.4 等厚轮盘应力计算

等厚轮盘， d d r ( ln ⁡ h ) = 0 \dfrac{d}{dr}\left( \ln h \right) =0 drd(lnh)=0，将此条件带入式 ( 2 − 6 ) (2-6) (2−6)，方程两边同时乘以 d r dr dr，进行两次积分可以得到：
r u = ( 1 + ν ) α ∫ r 0 r t r d r − A ( 1 − ν 2 ) E r 4 8 + a 1 r 2 + a 2 (2-9) ru=\left( 1+\nu \right) \alpha \int_{r_0}^r{trdr-\frac{A\left( 1-\nu ^2 \right)}{E}\frac{r^4}{8}+a_1r^2+a_2}\tag{2-9} ru=(1+ν)α∫r0rtrdr−EA(1−ν2)8r4+a1r2+a2(2-9)
a 1 a_1 a1， a 2 a_2 a2是积分常数， r 0 r_0 r0是盘内表面半径（实心盘 r 0 = 0 r_0=0 r0=0）,对上式微分：
d u d r = ( 1 + ν ) α t − ( 1 + ν ) α r 2 ∫ r 0 r t r d r − A ( 1 − ν 2 ) E 3 r 2 8 + a 1 − a 2 r 2 (2-10) \frac{du}{dr}=\left( 1+\nu \right) \alpha t-\frac{\left( 1+\nu \right) \alpha}{r^2}\int_{r_0}^r{trdr}-\frac{A\left( 1-\nu ^2 \right)}{E}\frac{3r^2}{8}+a_1-\frac{a_2}{r^2}\tag{2-10} drdu=(1+ν)αt−r2(1+ν)α∫r0rtrdr−EA(1−ν2)83r2+a1−r2a2(2-10)
将式 ( 2 − 9 ) (2-9) (2−9)、式 ( 2 − 10 ) (2-10) (2−10)和等厚条件带入式 ( 2 − 6 ) (2-6) (2−6)中，可以得到:
σ r = K 1 − K 2 r 2 − 3 + ν 8 A r 2 − α E r 2 ∫ r 0 r t r d r σ θ = K 1 + K 2 r 2 − 1 + 3 ν 8 A r 2 + α E r 2 ∫ r 0 r t r d r − E α t (2-11) \begin{align} &{\color{red} \sigma _r=K_1-\frac{K_2}{r^2}-\frac{3+\nu}{8}Ar^2-\frac{\alpha E}{r^2}\int_{r_0}^r{trdr}}\notag \\ &{\color{red} \sigma _{\theta}=K_1+\frac{K_2}{r^2}-\frac{1+3\nu}{8}Ar^2+\frac{\alpha E}{r^2}\int_{r_0}^r{trdr}-E\alpha t}\notag \end{align}\tag{2-11} σr=K1−r2K2−83+νAr2−r2αE∫r0rtrdrσθ=K1+r2K2−81+3νAr2+r2αE∫r0rtrdr−Eαt(2-11)
式中，常数 K 1 = a 1 E 1 − ν K_1=\dfrac{a_1E}{1-\nu} K1=1−νa1E、 K 2 = a 2 E 1 + ν K_2=\dfrac{a_2E}{1+\nu} K2=1+νa2E由边界条件确定，积分 ∫ r 0 r t r d r \displaystyle\int_{r_0}^r{trdr} ∫r0rtrdr由 t ( r ) t(r) t(r)确定。

轮盘应力 σ r \sigma_r σr、 σ θ \sigma_\theta σθ由三部分组成，一是带有常数 K 1 K_1 K1， K 2 K_2 K2的边界条件项；二是带 A = ρ ω 2 A=\rho \omega ^2 A=ρω2的离心应力项；三是带温度增量 t t t的热应力项。

轮盘的应力是由三种不同原因引起的应力线性叠加而成，在简单的边界条件下无耦合，因此可以单独研究它们的影响。

轮盘应力计算符合力的叠加原理。（✔）

2.4.1 等温实心等厚盘应力计算

设盘的温升为 t 0 t_0 t0，沿径向不变。边界条件为：

在盘心（ r = 0 r=0 r=0） σ r = σ θ = σ 0 \sigma _r=\sigma _{\theta}=\sigma _0 σr=σθ=σ0

在盘缘（ r = r a r=r_a r=ra） σ r = σ a \sigma _r=\sigma _a σr=σa

r a r_a ra是盘外缘榫槽底部的半径， σ a \sigma _a σa是盘缘应力。

▶盘缘应力是指由叶片质量及盘缘榫槽凸块（离心力）所引起的、在盘缘处均布的（径向）（径向/周向）应力。

将边界条件带入式 ( 2 − 11 ) (2-11) (2−11)中，解得：
K 1 = σ a + 3 + ν 8 A r 2 + α E t 0 2 K 2 = 0 \begin{align} K_1&=\sigma _a+\frac{3+\nu}{8}Ar^2+\frac{\alpha Et_0}{2}\notag \\ K_2&=0\notag \end{align} K1K2=σa+83+νAr2+2αEt0=0
（由于部分项 r r r在分母上，要将盘心边界条件带入，需令 K 2 = 0 K_2=0 K2=0）

得出等温实心等厚盘的应力分布：
σ r = 3 + ν 8 A ( r a 2 − r 2 ) + σ a σ θ = A 8 [ ( 3 + ν ) r a 2 − ( 1 + 3 ν ) r 2 ] + σ a \begin{align} \sigma _r&=\frac{3+\nu}{8}A\left( r_{a}^{2}-r^2 \right) +\sigma _a\notag \\ \sigma _{\theta}&=\frac{A}{8}\left[ \left( 3+\nu \right) r_{a}^{2}-\left( 1+3\nu \right) r^2 \right] +\sigma _a\notag \end{align} σrσθ=83+νA(ra2−r2)+σa=8A[(3+ν)ra2−(1+3ν)r2]+σa

由上式可以知道：

①式中无热应力项，可知等温盘（均匀加热），无热应力，对盘的应力无影响；
②盘缘应力 σ a \sigma_a σa（轮缘外载）会影响盘的应力，对于等厚盘，它是常数，数值上正比于盘缘凸块和叶片的总质量和转速的平方，与盘的厚度无关，减小叶片和榫槽凸块的离心力可以减小盘身应力；
③如果弹性系数 E E E沿径向不变，则应力与 E E E值无关。
④等厚盘应力分布不均匀，盘缘处应力较低，该处材料未能充分利用，盘心应力最大，其值为 σ r = σ θ = 3 + ν 8 A r a 2 + σ a \sigma _r=\sigma _{\theta}=\frac{3+\nu}{8}Ar_{a}^{2}+\sigma _a σr=σθ=83+νAra2+σa。

在全盘上均匀加热，不会导致热应力。（✔）

等厚盘应力分布不均匀，盘心处应力最低。（✘）

等厚度盘的应力分布是均匀的，材料利用最充分。（✘）

☛[选择题]等温实心等厚盘中应力分布为
σ r = 3 + ν 8 A ( r a 2 − r 2 ) + σ a σ θ = A 8 [ ( 3 + ν ) r a 2 − ( 1 + 3 ν ) r 2 ] + σ a \begin{align} \sigma _r&=\frac{3+\nu}{8}A\left( r_{a}^{2}-r^2 \right) +\sigma _a\notag \\ \sigma _{\theta}&=\frac{A}{8}\left[ \left( 3+\nu \right) r_{a}^{2}-\left( 1+3\nu \right) r^2 \right] +\sigma _a\notag \end{align} σrσθ=83+νA(ra2−r2)+σa=8A[(3+ν)ra2−(1+3ν)r2]+σa
由上式可知，下列各项正确的是：（C）

A、均匀加热,盘的径向应力和周向应力增加。

B、盘缘外载值一定时，盘身应力与厚度有关。

C、盘身应力与材料密度 ρ \rho ρ成正比。 [ A = ρ ω 2 ∝ ρ , σ a ∝ ρ A=\rho \omega ^2\propto \rho ,\sigma _a\propto \rho A=ρω2∝ρ,σa∝ρ]

D、如果弹性系数沿径向不变，则应力与弹性系数成正比。

2.4.2 等温空心等厚盘应力计算

根据叠加原理，可以单独研究旋转应力和外载应力的影响，现将空心盘缘分为无载荷与有载荷两种情况讨论。

（一）外缘无载荷旋转空心盘应力

如果中心孔边是自由的，则该处的径向应力为 0 0 0，该情况下边界条件为：

在盘孔（ r = r 0 r=r_0 r=r0） σ r = 0 \sigma _r=0 σr=0

在盘缘（ r = r a r=r_a r=ra） σ r = 0 \sigma _r=0 σr=0

将边界条件带入式 ( 2 − 11 ) (2-11) (2−11)中，得出 K 1 K_1 K1、 K 2 K_2 K2的值，再带入 ( 2 − 11 ) (2-11) (2−11)可得：
σ r = 3 + ν 8 A ( r a 2 + r 0 2 − r a 2 r 0 2 r 2 − r 2 ) σ θ = 3 + ν 8 A ( r a 2 + r 0 2 + r a 2 r 0 2 r 2 − 1 + 3 ν 3 + ν r 2 ) (2-12) \begin{align} \sigma _r&=\frac{3+\nu}{8}A\left( r_{a}^{2}+r_{0}^{2}-\frac{r_{a}^{2}r_{0}^{2}}{r^2}-r^2 \right) \notag \\ \sigma _{\theta}&=\frac{3+\nu}{8}A\left( r_{a}^{2}+r_{0}^{2}+\frac{r_{a}^{2}r_{0}^{2}}{r^2}-\frac{1+3\nu}{3+\nu}r^2 \right) \notag \end{align}\tag{2-12} σrσθ=83+νA(ra2+r02−r2ra2r02−r2)=83+νA(ra2+r02+r2ra2r02−3+ν1+3νr2)(2-12)
（二）外缘有载荷静子空心盘应力

为了说明盘外缘应力 σ a \sigma_a σa单独影响的作用，可以把盘暂时当作静子盘处理。此时边界条件为：

在盘孔（ r = r 0 r=r_0 r=r0） σ r = 0 \sigma _r=0 σr=0

在盘缘（ r = r a r=r_a r=ra） σ r = σ a \sigma _r=\sigma_a σr=σa

带入将边界条件带入式 ( 2 − 11 ) (2-11) (2−11)中，并令 A = 0 A=0 A=0得出:
σ r = r a 2 ( r 2 − r 0 2 ) r 2 ( r a 2 − r 0 2 ) σ a σ θ = r a 2 ( r 2 + r 0 2 ) r 2 ( r a 2 − r 0 2 ) σ a (2-13) \begin{align} \sigma _r&=\frac{r_{a}^{2}\left( r^2-r_{0}^{2} \right)}{r^2\left( r_{a}^{2}-r_{0}^{2} \right)}\sigma _a \notag \\ \sigma _{\theta}&=\frac{r_{a}^{2}\left( r^2+r_{0}^{2} \right)}{r^2\left( r_{a}^{2}-r_{0}^{2} \right)}\sigma _a \notag \end{align}\tag{2-13} σrσθ=r2(ra2−r02)ra2(r2−r02)σa=r2(ra2−r02)ra2(r2+r02)σa(2-13)

带轮缘分布载的旋转等温等厚空心盘的应力具有如下性质：

①类似于实心盘，旋转等温等厚空心盘应力由式 ( 2 − 12 ) (2-12) (2−12)、式 ( 2 − 13 ) (2-13) (2−13)两部分叠加而成：一部分是盘质量离心力产生的与 A A A成比例的应力项 ( 2 − 12 ) (2-12) (2−12)；一部分是由盘外载 σ a \sigma_a σa产生的应力项 ( 2 − 13 ) (2-13) (2−13)。

②盘身应力不均匀，盘外缘应力较低，材料未能充分利用。盘中心孔边周向应力最大，当孔径 r 0 r_0 r0趋近于零时，空心盘中心孔边周向应力为： σ θ ( 0 ) = 3 + ν 4 A r a 2 + 2 σ a \sigma _{\theta}\left( 0 \right) =\dfrac{3+\nu}{4}Ar_{a}^{2}+2\sigma _a σθ(0)=43+νAra2+2σa 尽管空心盘相比实心盘去除的材料只相当于一个针孔大小，但空心盘心周向应力是实心盘的两倍。盘的开孔总使应力加大，必须开孔时可把孔边局部的盘厚度适当增加，以避免过大应力。

▶开孔会对轮盘应力有影响，对于等厚盘来说，即使孔无限小，盘心处的周向应力还是实心盘中心应力的（2）倍。

将空心盘孔边局部的材料削去部分，可以避免过大的应力。（✘）

③当盘中心孔半径增大，孔边的周向应力随着增大，极限情况下，中心孔径接近盘缘外径时，周向应力无限大，这时空心盘接近成为圆环，盘缘外载几乎全靠周向应力承受。

④径向应力在中心孔及外径上为零，最大值发生在 r = r 0 r a r=\sqrt{r_0r_a} r=r0ra 处。

等厚盘应力分布不均匀，盘心处应力最低。（✘）

2.4.3 非均匀加热等厚盘

按照力的叠加原理，在无外载静止（ A = 0 A=0 A=0）轮盘上，单独研究非均匀加热盘的应力分布。式 ( 2 − 11 ) (2-11) (2−11)简化为：
σ r = K 1 − K 2 r 2 − α E r 2 ∫ r 0 r t r d r σ θ = K 1 + K 2 r 2 + α E r 2 ∫ r 0 r t r d r − E α t (2-14) \begin{align} \sigma _r&=K_1-\frac{K_2}{r^2}-\frac{\alpha E}{r^2}\int_{r_0}^r{trdr} \notag \\ \sigma _{\theta}&=K_1+\frac{K_2}{r^2}+\frac{\alpha E}{r^2}\int_{r_0}^r{trdr}-E\alpha t \notag \end{align}\tag{2-14} σrσθ=K1−r2K2−r2αE∫r0rtrdr=K1+r2K2+r2αE∫r0rtrdr−Eαt(2-14)
实心盘：

边界条件：

在盘心（ r = r 0 = 0 r=r_0=0 r=r0=0） σ r = σ θ \sigma _r=\sigma_{\theta} σr=σθ

在盘缘（ r = r a r=r_a r=ra） σ r = 0 \sigma _r=0 σr=0

实心盘应力表达式：
σ r = α E r a 2 ∫ 0 r a t r d r − α E r 2 ∫ 0 r t r d r σ θ = α E r a 2 ∫ 0 r a t r d r + α E r 2 ∫ 0 r t r d r − E α t \begin{align} \sigma _r&=\frac{\alpha E}{r_{a}^{2}}\int_0^{r_a}{trdr}-\frac{\alpha E}{r^2}\int_0^r{trdr} \notag \\ \sigma _{\theta}&=\frac{\alpha E}{r_{a}^{2}}\int_0^{r_a}{trdr}+\frac{\alpha E}{r^2}\int_0^r{trdr}-E\alpha t \notag \end{align}%\tag{2-14} σrσθ=ra2αE∫0ratrdr−r2αE∫0rtrdr=ra2αE∫0ratrdr+r2αE∫0rtrdr−Eαt
空心盘：

在盘孔（ r = r 0 r=r_0 r=r0） σ r = 0 \sigma _r=0 σr=0

在盘缘（ r = r a r=r_a r=ra） σ r = 0 \sigma _r=0 σr=0

实心盘应力表达式：
σ r = α E r 2 ( r 2 − r 0 2 r a 2 − r 0 2 ∫ r 0 r a t r d r − ∫ r 0 r t r d r ) σ θ = α E r 2 ( r 2 + r 0 2 r a 2 − r 0 2 ∫ r 0 r a t r d r + ∫ r 0 r t r d r ) − E α t \begin{align} \sigma _r&=\frac{\alpha E}{r^2}\left( \frac{r^2-r_{0}^{2}}{r_{a}^{2}-r_{0}^{2}}\int_{r_0}^{r_a}{trdr}-\int_{r_0}^r{trdr} \right) \notag \\ \sigma _{\theta}&=\frac{\alpha E}{r^2}\left( \frac{r^2+r_{0}^{2}}{r_{a}^{2}-r_{0}^{2}}\int_{r_0}^{r_a}{trdr}+\int_{r_0}^r{trdr} \right) -E\alpha t \notag \end{align}%\tag{2-14} σrσθ=r2αE(ra2−r02r2−r02∫r0ratrdr−∫r0rtrdr)=r2αE(ra2−r02r2+r02∫r0ratrdr+∫r0rtrdr)−Eαt
可以看出：盘中热应力取决于盘温度沿径向的变化规律。在稳态下工作的轮盘，它的温度分布沿半径方向大致按如下规律：
t = t 0 + c 1 ( r m − r 0 m ) t=t_0+c_1\left( r^m-r_{0}^{m} \right) t=t0+c1(rm−r0m)
t 0 t_0 t0是半径为 r 0 r_0 r0处的温度， m m m为形状参数（通常取 0 、 1 、 2 、 3 0、1、2、3 0、1、2、3，例如等温盘 m = 0 m=0 m=0, t = t 0 t=t_0 t=t0）， c m c_m cm是与 m m m有关的常系数。

☛[选择题]轮盘强度计算时，假设盘的温度沿（B）方向变化。
A、周向 B、径向 C、厚度 D、周向和径向

对于实心盘（ r 0 = 0 r_0=0 r0=0）：

m = 1 m=1 m=1时，温度是沿径向线性变化的，可以得出热应力也是沿径向线性变化的；
m = 2 m=2 m=2时，温度沿径向变化的规律是二次曲线，可以得出热应力也是按二次曲线变化的；
m = 3 m=3 m=3时，温度沿径向变化的规律是三次曲线，可以得出热应力也是按三次曲线变化的；

▶温度沿径向变化规律是线性时，实心等厚盘的热应力是按（径向线性）变化的。

对于空心盘：

m = 1 m=1 m=1时，温度是沿径向线性变化的，但是热应力不是沿径向线性变化的；
m = 2 m=2 m=2时，温度沿径向变化的规律是二次曲线，但是热应力不是按二次曲线变化的；

☛[选择题]对于等厚盘热应力的分布规律，以下描述正确的是：（B）
A、如果温度沿周向变化规律是线性时，实心盘的热应力是按线性变化的
B、如果温度沿径向变化规律是线性时，实心盘的热应力是按线性变化的
C、如果温度沿周向变化规律是线性时，空心盘的热应力是按线性变化的
D、如果温度沿径向变化规律是线性时，空心盘的热应力是按线性变化的

温度沿径向变化规律是线性时，盘身的热应力也是按线性规律变化的。（✘）[实心盘]

等厚盘热应力具有如下性质：

①无约束等温盘热应力为 0 0 0;
②热应力正比于弹性模量 E E E，热膨胀系数 α \alpha α及温升系数 c m c_m cm。若沿半径温升成比例地增大 K K K倍，即 c m c_m cm增大 K K K倍，热应力也增大 K K K倍。
③轮盘温度场外高内低，轮盘径向应力恒为拉应力，周向应力在靠近轮缘区为压应力，在靠近盘心或中心孔区为拉应力。
④空心盘内径趋于零时的孔边周向热应力为实心盘心应力的二倍。
⑤不论是实心盘还是空心盘，在盘的子午面上，由周向应力产生的总的压缩应力和拉伸应力相等，即 ∫ r 0 r a σ θ h d r = 0 \displaystyle\int_{r_0}^{r_a}{\sigma _{\theta}hdr}=0 ∫r0raσθhdr=0。

▶关于等厚盘的热应力，不论实心盘或空心盘，由热负荷引起的（周向）应力产生的总的压缩力和拉伸力是相等的。

▶对于等厚盘来说，由热负荷引起的周向应力沿半径积分，结果为（ 0 \mathbf{0} 0）。

☛[选择题]非均匀加热静止盘的热应力分布为：
σ r = α E r a 2 ∫ 0 r a t r d r − α E r 2 ∫ 0 r t r d r σ θ = α E r a 2 ∫ 0 r a t r d r + α E r 2 ∫ 0 r t r d r − E α t \begin{align} \sigma _r&=\frac{\alpha E}{r_{a}^{2}}\int_0^{r_a}{trdr}-\frac{\alpha E}{r^2}\int_0^r{trdr} \notag \\ \sigma _{\theta}&=\frac{\alpha E}{r_{a}^{2}}\int_0^{r_a}{trdr}+\frac{\alpha E}{r^2}\int_0^r{trdr}-E\alpha t \notag \end{align}%\tag{2-14} σrσθ=ra2αE∫0ratrdr−r2αE∫0rtrdr=ra2αE∫0ratrdr+r2αE∫0rtrdr−Eαt
由上式可知，下列各项错误的是：（C）（2分)

A、在全盘上均匀加热，不会导致热应力

B、沿半径温升成比例地增大 K K K倍时，热应力也增大 K K K倍

C、弹性系数增大 K K K倍时，热应力不变 [热应力也增大 K K K倍 ]

D、热应力分布规律与温度分布规律有关

2.5 锥形盘

▶对于实心盘而言，锥形盘的应力分布比等厚盘合理得多，因而在相同的要求下，重量要（轻）些。

对于实心盘而言，锥形盘的应力比等厚盘更合理，相同条件下，重量更轻些。（✔）

2.6 等强度盘

等厚盘的盘外缘处应力较小，它的材料未被充分利用。如果合理设计盘型面，使全盘中各处的径向和周向应力都各等于某一常数，则盘的质量会更小，这就是所谓的“等强度盘”。

☛[选择题]下列选项中，材料利用最合理的是：（C）
A、等厚盘 B、锥形盘 C、等强度盘 D、静止盘

▶全盘中各处径向应力和周向应力都各等于某一常数，则盘重量应是最轻的，这就是（等强度盘）。

全盘上温度一致的情况下，盘就达到了完全的等强度。（✘）

使径向应力和周向应力各等于一个常数， σ r = a 1 \sigma_r=a_1 σr=a1， σ θ = a 2 \sigma_{\theta}=a_2 σθ=a2，将它们带入变形协调方程 ( 2 − 8 ) (2-8) (2−8)：
a 2 E ( 1 + ν ) = a 1 E ( 1 + ν ) − r α d t d r \frac{a_2}{E}\left( 1+\nu \right) =\frac{a_1}{E}\left( 1+\nu \right) -r\alpha \frac{dt}{dr} Ea2(1+ν)=Ea1(1+ν)−rαdrdt
解得： t = B ln ⁡ r + C t=B\ln r+C t=Blnr+C （ C C C为积分常数， B = 1 + ν α E ( a 1 − a 2 ) B=\dfrac{1+\nu}{\alpha E}\left( a_1-a_2 \right) B=αE1+ν(a1−a2)）

上式是实现等强度盘的温度场条件，只有满足这种沿径向对数变化的温度场，才可能使盘中应力分量保持不变。

如果要求 σ r = σ θ = c o n s t \sigma_r=\sigma_{\theta}=const σr=σθ=const，则 B = 0 B=0 B=0，因此 t = C t=C t=C。这表明只有等温盘才能实现完全的等强度盘设计。

▶等强度盘必须要求温度按（对数）规律变化，若其全盘上温度（一致），才能达到完全的等强度。

等强度盘的剖面形状可以利用平衡方程 ( 2 − 1 ) (2-1) (2−1)，并带入 σ r = σ θ = σ \sigma_r=\sigma_{\theta}=\sigma σr=σθ=σ，可以得到：
d h h = − ρ ω 2 r σ d r \frac{dh}{h}=-\rho \omega ^2\frac{r}{\sigma}dr hdh=−ρω2σrdr
解得： h = C 1 e − ρ ω 2 2 σ r 2 h=C_1e^{-\frac{\rho \omega ^2}{2\sigma}r^2} h=C1e−2σρω2r2 （ C 1 C_1 C1是积分常数）

C 1 C_1 C1可由边界条件确定，可以令盘心厚度为 h 0 h_0 h0,得出 h = h 0 e − ρ ω 2 2 σ r 2 h=h_0e^{-\frac{\rho \omega ^2}{2\sigma}r^2} h=h0e−2σρω2r2，也可以令盘外缘（ r = r m r=r_m r=rm）处的厚度为 h m h_m hm，得出 h = h m e ρ ω 2 2 σ ( r m 2 − r 2 ) h=h_me^{\frac{\rho \omega ^2}{2\sigma}\left( r_{m}^{2}-r^2 \right)} h=hme2σρω2(rm2−r2)。

2.7 轮盘的许用应力

2.7.1 总安全系数法

▶轮盘总安全系数是将轮盘（破坏转速）与最大工作转速进行比较。

▶当沿半径各截面的周向应力都达到（屈服极限）时，就认为轮盘破坏。这时的转速定义为（破坏转速）。