（一）航空发动机强度与振动复习纲要

第1章工作叶片强度计算
- 1.1 叶片的工作条件
- - 1.1.1 离心力
  - 1.1.2 气体力
  - 1.1.3 热应力
  - 1.1.4 振动应力
- 1.2 计算准备
- - 1.2.1 简化假设
  - 1.2.2 坐标系的建立
  - 1.2.3 计算点的选择
- 1.3 离心拉伸应力计算
- - 1.3.1 一般公式
  - 1.3.2 数值积分法
- 1.4 弯矩的计算
- - 1.4.1 气体力弯矩计算
  - 1.4.2 离心力弯矩计算
- 1.5 弯矩的合成与补偿
- 1.6 弯曲应力的计算
- 1.7 总应力与安全系数
- 1.8 影响叶片强度的因素
- - 1.8.1 扭转应力的影响
  - 1.8.2 热应力的影响
  - 1.8.3 扭向的影响
  - 1.8.5 蠕变的影响
  - 1.8.6 其他影响：叶片弯曲变形、榫头、叶冠和凸台

第1章工作叶片强度计算

1.1 叶片的工作条件

▶发动机叶片工作时受到的负荷包括：（离心力）、（气体力）、（热应力）和（振动应力）。

发动机转子叶片所受载荷包括热载荷、离心力和气动力。发动机静子叶片所受的载荷主要是气动力和热载荷，但压气机叶片工作温度一般不高，且温度分布也较均匀，在应力分析时通常只考虑气动力作用。

1.1.1 离心力

离心力物理计算式如下：
F 离 = r m ω 2 F_{\text{离}}=rm\omega ^2 F离=rmω2
▶叶片在离心力作用下，会产生（拉伸）应力、（扭转）应力和（弯曲）应力。

▶设计叶片时，通常设法使（离心）弯矩和（气动）弯矩尽可能相抵消。（降低叶片应力）

▶把叶片的离心力与其自重之比称为（过载系数）。易知：

K = W g r ω 2 W = r ω 2 g = u 2 r g K=\dfrac{\dfrac{W}{g}r\omega ^2}{W}=\frac{r\omega ^2}{g}=\frac{u^2}{rg} K=WgWrω2=grω2=rgu2
无论对大的或小的发动机，质心处的线速度总是相差不多，而半径随发动机的大小而显著不同。一般来讲，发动机越小，叶片离心力影响越严重。（✔）

1.1.2 气体力

气体力会使叶片产生弯曲应力和扭转应力。

1.1.3 热应力

热应力是由于叶片受热时各部分的变形相互制约而产生的。叶片的温度梯度越大，几何约束越紧，则热应力越大。

▶热应力对工作叶片（尤其是涡轮叶片）的强度有很大影响。一方面由于叶片材料的（机械性能）将降低；另一方面叶片上某些部位的（总应力）增大，这将使叶片的安全裕度明显下降。

1.1.4 振动应力

由于气流脉动等原因可激起工作叶片和静子叶片的振动，振动应力就是由于振动产生的力，这种力使叶片产生振动或共振。

1.2 计算准备

1.2.1 简化假设

▶计算工作叶片上的应力时，通常不计叶片上的扭转应力、（热）应力和（振动）应力。

▶把工作叶片看为根部完全固装的变截面（悬臂杆）。

1.2.2 坐标系的建立

1.2.3 计算点的选择

工作叶片上的应力情况及其安全系数将随各种不同的工作状态而变化。作用于叶片上的主要负荷是叶片自身的离心力和气体力。离心力与发动机转速有关，在最大转速 n max ⁡ n_{\max} nmax时的离心力最大。气体力的变化主要与发动机流量成正比，与飞行状态有关。

离心力弯矩随飞行状态有很大的变化。（✘）

▶设计叶片时，通常设法使（离心）弯矩和（气动）弯矩尽可能相抵消。

▶进行发动机工作叶片的强度计算时，只需要选取叶片可能出现危险的若干工作状态进行计算，这些状态包括：（设计状态）、（低空低温高速飞行状态）、（高空低速飞行状态）和（最高温度状态）。

（1）设计状态： H = 0 , V = 0 , n = n max ⁡ H=0,V=0,n=n_{\max} H=0,V=0,n=nmax,此时转速最高，气动参数最全。

（2）低空低温高速飞行状态： H = 0 , V = V max ⁡ H=0,V=V_{\max} H=0,V=Vmax，发动机转速最大时，叶片承受的气动力最大。

（3）高空低速飞行状态： H = H max ⁡ , V = V H , n = n max ⁡ , t = t H H=H_{\max},V=V_H,n=n_{\max},t=t_H H=Hmax,V=VH,n=nmax,t=tH， V H V_H VH为设计高度下的最低飞行速度，此时气动力最小。

（4）最高温度状态：叶片所受载荷不是最大，但温度高，材料的机械性能将降低，需要计算该状态下的强度。

1.3 离心拉伸应力计算

1.3.1 一般公式

叶片在自身质量的离心力作用下，将产生拉伸应力。
假设同一截面上的离心拉伸应力处处相等。工作叶片任一横截面上的离心拉伸应力等于该截面以上部分叶片质量所产生的沿 Z Z Z轴方向的离心力与该截面面积之比。

微元体所受离心力 d P dP dP为：
d P = ρ ω 2 Z ′ d A d Z dP=\rho \omega ^2Z^{\prime}dAdZ dP=ρω2Z′dAdZ
其中， d A = d x d y dA=dxdy dA=dxdy,注意到 Z = Z ′ cos ⁡ φ Z=Z^{\prime}\cos \varphi Z=Z′cosφ,离心力 d P dP dP沿 Z Z Z轴方向的分量为：
d P Z = d P cos ⁡ φ = ρ ω 2 Z d A d Z dP_Z=dP\cos \varphi =\rho \omega ^2ZdAdZ dPZ=dPcosφ=ρω2ZdAdZ
截面积为 A ( Z ) A(Z) A(Z)的叶片微元段质量产生的 Z Z Z轴方向的离心力分量为：
∫ A ( Z ) d P Z = ρ ω 2 Z d Z ∫ A ( Z ) d A = ρ ω 2 Z A ( Z ) d Z \int_{A\left( Z \right)}{dP_Z=}\rho \omega ^2ZdZ\int_{A\left( Z \right)}{dA=}\rho \omega ^2ZA\left( Z \right) dZ ∫A(Z)dPZ=ρω2ZdZ∫A(Z)dA=ρω2ZA(Z)dZ
工作叶片某一截面 ( Z = Z i ) (Z=Z_i) (Z=Zi)以上部分叶片质量产生的沿 Z Z Z轴方向的离心力为：
P i ( 离 ) = ρ ω 2 ∫ Z i Z k Z A ( Z ) d Z P_{i\left( \text{离} \right)}=\rho \omega ^2\int_{Z_i}^{Z_k}{ZA\left( Z \right) dZ} Pi(离)=ρω2∫ZiZkZA(Z)dZ
Z k Z_k Zk为叶尖处的 Z Z Z坐标值，根据定义，工作叶片某一截面 ( Z = Z i ) (Z=Z_i) (Z=Zi)的离心拉伸应力为：
σ i ( 离 ) = ρ ω 2 ∫ Z i Z k Z A ( Z ) d Z A ( Z ) \sigma _{i\left( \text{离} \right)}=\frac{\rho \omega ^2 \displaystyle\int_{Z_i}^{Z_k}{ZA\left( Z \right) dZ}}{A\left( Z \right)} σi(离)=A(Z)ρω2∫ZiZkZA(Z)dZ
对于等截面叶片， A ( Z ) = A ( Z i ) = c o n s t A(Z)=A(Z_i)=const A(Z)=A(Zi)=const,离心拉伸应力公式可变为：
σ i ( 离 ) = 1 2 ρ ω 2 ( Z k 2 − Z i 2 ) \sigma _{i\left( \text{离} \right)}=\frac{1}{2}\rho \omega ^2\left( Z_{k}^{2}-Z_{i}^{2} \right) σi(离)=21ρω2(Zk2−Zi2)
可以看出，截面所在半径 Z i Z_i Zi越小，该截面离心拉伸应力越大。叶根处离心拉伸应力最大，叶尖处为 0 0 0。

▶对于等截面叶片，截面所在的半径越小，则该截面上的离心拉伸应力就越（大）。

1.3.2 数值积分法

基本思想： 将叶片分为 n n n段，叶尖截面面积为 A 0 A_0 A0,第 i i i段叶片的截面面积用平均截面面积 ( A m i = A i − 1 + A i 2 ) (A_{mi}=\dfrac{A_{i-1}+A_i}{2}) (Ami=2Ai−1+Ai)近似代替, Z Z Z向高度同理,分别求出第 1 1 1段到第 i i i段叶片的所受的离心力 Δ P 1 , Δ P 2 ⋯ Δ P i \varDelta P_1,\varDelta P_2\cdots \varDelta P_i ΔP1,ΔP2⋯ΔPi，于是可以得出第 i i i截面上的离心拉伸应力为：
σ i ( 离 ) = ∑ i = 1 i Δ P i A i = 1 A i ( Δ P 1 + Δ P 2 + ⋯ + Δ P i ) \sigma _{i\left( \text{离} \right)}=\dfrac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^i{\varDelta P_i}}{A_i}=\frac{1}{A_i}\left( \varDelta P_1+\varDelta P_2+\cdots +\varDelta P_i \right) σi(离)=Aii=1∑iΔPi=Ai1(ΔP1+ΔP2+⋯+ΔPi)

1.4 弯矩的计算

梁上任一截面上某一点的弯曲应力为：
σ i ( 弯 ) = M y J = M W \sigma _{i\left( \text{弯} \right)}=\frac{My}{J}=\frac{M}{W} σi(弯)=JMy=WM
M M M为该截面所受的弯矩， y y y为所计算点到该截面主惯性轴的距离， J J J为截面的主惯性矩， W W W为弯曲截面系数。

叶片截面上弯曲应力认为是均匀分布的。（✘）[非均匀分布]

1.4.1 气体力弯矩计算

气体力的产生：气流沿轴向和周向速度发生变化（气体动量发生变化）；气流在工作叶栅进出口截面存在压差。

▶气流受到轴向力的作用，一方面是因为（轴向）速度发生变化，还有个原因就是由于轴向压差。

气体流过叶栅时，在每单位的叶高上，必受到一个轴向力 p x ′ p_{x}^{\prime} px′和一个周向力 p y ′ p_{y}^{\prime} py′的作用。

叶片每单位叶高上都受到一个轴向气体力和一个径向气体力的作用。（✘）[轴向和周向]

气流参数沿叶高是变化的，故工作叶片所受的轴向力 p x p_{x} px与周向力 p y p_{y} py也是沿叶高变化的。（数值积分法）

▶近似估算法计算叶片气体力时，假设气体力沿叶高是不变的，都等于（平均半径）处的数值。（这样工作叶片就像一个受均匀载荷的悬臂梁）。

轴向:

（1）动量变化引起的轴向力

根据动量定理，对于流过平均半径处单位叶高的气流，在单位时间受到的轴向力为：
p x 1 ′ = ( ρ 2 m ⋅ 1 ⋅ t 2 m C 2 a m ) C 2 a m − ( ρ 1 m ⋅ 1 ⋅ t 1 m C 1 a m ) C 1 a m p_{x1}^{\prime}=\left( \rho _{2m}\cdot 1\cdot t_{2m}C_{2am} \right) C_{2am}-\left( \rho _{1m}\cdot 1\cdot t_{1m}C_{1am} \right) C_{1am} px1′=(ρ2m⋅1⋅t2mC2am)C2am−(ρ1m⋅1⋅t1mC1am)C1am
近似取 t m = t 2 m = t 1 m = 2 π Z m Q t_m=t_{2m}=t_{1m}=\dfrac{2\pi Z_m}{Q} tm=t2m=t1m=Q2πZm， t m t_m tm是平均半径处栅距， Z m Z_m Zm是平均半径， Q Q Q是叶片数，因此上式可以写为：
p x 1 ′ = 2 π Z m Q ( ρ 2 m C 2 a m 2 − ρ 1 m C 1 a m 2 ) p_{x1}^{\prime}=\frac{2\pi Z_m}{Q}\left( \rho _{2m}C_{2am}^{2}-\rho _{1m}C_{1am}^{2} \right) px1′=Q2πZm(ρ2mC2am2−ρ1mC1am2)
（2）轴向压差引起的轴向力
p x 2 ′ = 1 ⋅ t m ( p 2 m − p 1 m ) = 2 π Z m Q ( p 2 m − p 1 m ) p_{x2}^{\prime}=1\cdot t_m\left( p_{2m}-p_{1m} \right) =\frac{2\pi Z_m}{Q}\left( p_{2m}-p_{1m} \right) px2′=1⋅tm(p2m−p1m)=Q2πZm(p2m−p1m)
根据作用力与反作用力的关系，叶片所受总轴向力为:
p x = p x 1 + p x 2 = 2 π Z m Q [ ( ρ 1 m C 1 a m 2 − ρ 2 m C 2 a m 2 ) + ( p 1 m − p 2 m ) ] p_x=p_{x1}+p_{x2}=\frac{2\pi Z_m}{Q}\left[ \left( \rho _{1m}C_{1am}^{2}-\rho _{2m}C_{2am}^{2} \right) +\left( p_{1m}-p_{2m} \right) \right] px=px1+px2=Q2πZm[(ρ1mC1am2−ρ2mC2am2)+(p1m−p2m)]
周向：

（1）动量变化引起的周向力

对于叶片，所受周向力为：
p y = 2 π Z m Q ( ρ 1 m C 1 a m C 1 u m − ρ 2 m C 2 a m C 2 u m ) p_y=\frac{2\pi Z_m}{Q}\left( \rho _{1m}C_{1am}C_{1um}-\rho _{2m}C_{2am}C_{2um} \right) py=Q2πZm(ρ1mC1amC1um−ρ2mC2amC2um)
气体力弯矩

气体力 p x , p y p_x,p_y px,py正负与 x , y x,y x,y轴正负方向一致，根据右手定则，正的 p x p_x px产生 y y y轴方向负的弯矩，正的 p y p_y py产生 x x x轴方向正的弯矩。因此任一半径 Z Z Z处叶片截面上的气体力弯矩为：
M x ( Z ) 气 = 1 2 p y ( Z k − Z ) 2 M y ( Z ) 气 = − 1 2 p x ( Z k − Z ) 2 \begin{align} M_x\left( Z \right) _{\text{气}}&=\frac{1}{2}p_y\left( Z_k-Z \right) ^2\notag \\ M_y\left( Z \right) _{\text{气}}&=-\frac{1}{2}p_x\left( Z_k-Z \right) ^2\notag \end{align} Mx(Z)气My(Z)气=21py(Zk−Z)2=−21px(Zk−Z)2

1.4.2 离心力弯矩计算

▶当工作叶片各截面的重心连线不与 Z Z Z轴重合，旋转时叶片所产生的离心力将产生（离心力弯矩）。（数值积分法）

对于接近于等截面的压气机工作叶片，通常只需求叶根截面的弯矩，此时可将整个叶身作为一段进行近似计算，而不必分段计算。

1.5 弯矩的合成与补偿

▶作用在工作叶片各截面上的总弯矩等于作用在叶片各截面上的（气体力）弯矩和（离心力）弯矩的代数和。

▶叶片重心偏移的方向总是与叶片所受总的（气体力）方向一致。

1.6 弯曲应力的计算

计算弯曲应力时，总是对惯性主轴 η , ξ \eta ,\xi η,ξ而言的,需要把对 x , y x,y x,y轴的合成弯矩转换为对 η , ξ \eta ,\xi η,ξ轴的合成弯矩。

转子叶片截面的抗弯能力在两个惯性主轴是不一样的，对 η \eta η轴的惯性矩最小，对 ξ \xi ξ轴的惯性矩最大。

转换公式如下：
{ M η , 合 = M x , 合 cos ⁡ α − M y , 合 sin ⁡ α M ξ , 合 = M x , 合 sin ⁡ α + M y , 合 cos ⁡ α \begin{cases} M_{\eta ,\text{合}}=M_{x,\text{合}}\cos \alpha -M_{y,\text{合}}\sin \alpha\\ M_{\xi ,\text{合}}=M_{x,\text{合}}\sin \alpha +M_{y,\text{合}}\cos \alpha\\ \end{cases} {Mη,合=Mx,合cosα−My,合sinαMξ,合=Mx,合sinα+My,合cosα
根据材料力学公式 σ i ( 弯 ) = M y J \sigma _{i\left( \text{弯} \right)}=\dfrac{My}{J} σi(弯)=JMy计算该点弯曲应力，将 J J J换为对应的 J η , J ξ J_{\eta},J_{\xi} Jη,Jξ， y y y换为 ( η , ξ ) (\eta,\xi) (η,ξ)即可。

校核强度只需计算该截面弯曲应力最大处，在距 η \eta η轴最远的 A , B , C A,B,C A,B,C三点在仅有 M η , 合 M_{\eta ,\text{合}} Mη,合作用时，显然弯曲应力最大，当同时有 M ξ , 合 M_{\xi ,\text{合}} Mξ,合时，这个结论也近似正确。根据叠加原理，这三点的弯曲应力计算式为：
{ σ A , 弯 = M ξ , 合 J ξ η A − M η , 合 J η ξ A σ B , 弯 = M ξ , 合 J ξ η B − M η , 合 J η ξ B σ C , 弯 = M ξ , 合 J ξ η C − M η , 合 J η ξ C \begin{cases} \sigma _{A,\text{弯}}=\dfrac{M_{\xi ,\text{合}}}{J_{\xi}}\eta _A-\dfrac{M_{\eta ,\text{合}}}{J_{\eta}}\xi _A\\ \sigma _{B,\text{弯}}=\dfrac{M_{\xi ,\text{合}}}{J_{\xi}}\eta _B-\dfrac{M_{\eta ,\text{合}}}{J_{\eta}}\xi _B\\ \sigma _{C,\text{弯}}=\dfrac{M_{\xi ,\text{合}}}{J_{\xi}}\eta _C-\dfrac{M_{\eta ,\text{合}}}{J_{\eta}}\xi _C\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧σA,弯=JξMξ,合ηA−JηMη,合ξAσB,弯=JξMξ,合ηB−JηMη,合ξBσC,弯=JξMξ,合ηC−JηMη,合ξC
式中的负号是为了使所得应力与应力符号的规定一致。

1.7 总应力与安全系数

在工作叶片的静强度计算（不考虑振动应力和热应力）中，叶片上的总应力就是离心拉伸应力与弯曲应力的代数和，即：
σ 总 = σ 离 + σ 弯 \sigma _{\text{总}}=\sigma _{\text{离}}+\sigma _{\text{弯}} σ总=σ离+σ弯
截面上的离心拉伸应力假设是均匀分布的，所以总应力最大的点，也必然是弯曲应力最大的点。

☛[选择题]叶片截面上总应力最大的点，就是（弯曲应力）最大的点。

▶叶片的安全系数是叶片材料的（许用应力）与危险截面上（最大总应力）之比。

对于工作温度较低的压气机叶片，可取叶片材料的屈服应力 σ s \sigma_s σs为许用应力。

▶对于工作温度较高的叶片，许用应力为叶片材料的（高温持久强度极限）。

对于工作温度较高的涡轮叶片，还需要考虑蠕变失效，此时可用 σ T t \sigma_T^t σTt代替屈服应力， t t t为考核点温度（叶片计算截面工作温度）， T T T为持久寿命时间（发放机寿命）。

☛[选择题]以下哪项不是静强度计算的内容（D）
A、变形计算 B、应力计算 C、强度考核 D、频率计算

1.8 影响叶片强度的因素

1.8.1 扭转应力的影响

在计算叶片应力时，对于小弦长或大展弦比的叶片往往不考虑扭转应力，但对于大弦长或小展弦比的叶片不能忽略。

对于小弦长的叶片，扭转应力的影响不可忽略。（✘）

展弦比：叶片宽度与叶片弦长之比。小展弦比的叶片是曲线形的，展弦比一般小于 0.3 0.3 0.3，效率较高。

1.8.2 热应力的影响

▶物体受热膨胀受到约束时，会产生（压）（压/拉）应力。

▶发动机起动时，涡轮叶片叶片表面和较薄的排气边部分受到的热应力为（压）（压/拉）应力。（原理如上）

1.8.3 扭向的影响

扭向会对离心拉伸应力的均匀分布产生影响。

1.8.5 蠕变的影响

工作叶片（尤其是涡轮工作叶片）在高温下长期受力，会产生蠕变。蠕变有两种表现：蠕滑和松弛。

▶（蠕滑）是指零件的变形随时间而逐渐增加的现象。

▶松弛是指零件内的（应力）随时间而逐渐减小的现象。

蠕滑是指零件内的应力随时间而逐渐减小的现象。（✘）

1.8.6 其他影响：叶片弯曲变形、榫头、叶冠和凸台