（四）航空发动机强度与振动复习纲要

第6章圆盘振动
- 6.1 圆盘振动现象
- 6.2 等厚圆盘的自振频率
- 6.3 动波
- 6.4 盘振动的激振力
第7章发动机的振动与平衡
- 7.1 临界转速
- - 平衡转子
  - 不平衡转子
- 7.2 轴质量对临界转速的影响
- 7.3 处理临界转速问题的方法
- 7.4 发动机转子的平衡

第6章圆盘振动

6.1 圆盘振动现象

轮盘的结构型式可分为中心轴联结（中心固定）的轮盘和外缘联结（边缘固定）的轮盘。

▶轮盘的振动形式可以分为：第一类振动：（节圆振动），这类振动一般不会导致轮盘的损坏；第二类振动：（节径振动），这类振动容易引起轮盘的损坏；复合振动。

（1）第一类振动—————振动形式中心对称，即全部节线都是同心圆。中心固定的一阶振动又称伞形振动。
对于外缘固定的圆盘，振动时没有中心节点，节圆情况类似。
节圆振动不严重，一般不会导致盘的损坏。

（2）第二类振动————全部节线都是沿圆盘面均匀分布的直径，称为节径。
这类振动无论在中心固定或边缘固装的圆盘都可能产生。这类振动最容易引起轮盘的损坏。

（3）复合振动

将各类振动编以标记符号。其中分子为节圆数，分母为节径数。

☛[选择题]判断下面轮盘的振动类型（C）

A、弯曲振动 B、节圆振动 C、节径振动 D、伞形振动

6.2 等厚圆盘的自振频率

圆盘的各种自振频率随其转速增加而增加。

高温使轮盘处理的弹性模量减小，从而导致轮盘的振动固有频率下降。

6.3 动波

第二类振动在实际发动机中最常见，下面详细分析这类振动。
与叶片振动类似，在求解盘的节径振动问题中，采用极坐标，写出振幅方程如下：
W = W 0 ( r , θ ) cos ⁡ p t W=W_0\left( r,\theta \right) \cos pt W=W0(r,θ)cospt
W 0 W_0 W0表示圆盘各位置的振幅，具体写为：
W 0 ( r , θ ) = U ( r ) cos ⁡ θ W_0\left( r,\theta \right) =U\left( r \right) \cos \theta W0(r,θ)=U(r)cosθ
U ( r ) U(r) U(r)表示在一定半径 r r r的圆周上的最大振幅。

对于 m m m个节径的振动，则写为：
W 0 ( r , θ ) = U ( r ) cos ⁡ m θ W_0\left( r,\theta \right) =U\left( r \right) \cos m\theta W0(r,θ)=U(r)cosmθ
因此，振幅方程可以写为：
W = U ( r ) cos ⁡ m θ cos ⁡ p t = U 2 [ cos ⁡ ( m θ + p t ) + cos ⁡ ( m θ − p t ) ] W=U\left( r \right) \cos m\theta \cos pt=\dfrac{U}{2}\left[ \cos \left( m\theta +pt \right) +\cos \left( m\theta -pt \right) \right] W=U(r)cosmθcospt=2U[cos(mθ+pt)+cos(mθ−pt)]
上式 U 2 cos ⁡ ( m θ + p t ) \dfrac{U}{2}\cos \left( m\theta +pt \right) 2Ucos(mθ+pt)和 U 2 cos ⁡ ( m θ − p t ) \dfrac{U}{2}\cos \left( m\theta -pt \right) 2Ucos(mθ−pt)都被称为动波。

当位移为 0 0 0时， cos ⁡ ( m θ ± p t ) = 0 \cos \left( m\theta \pm pt \right) =0 cos(mθ±pt)=0，解得节线相对于盘的运动方程为：
θ = i π 2 m ± p m t \theta =\frac{i\pi}{2m}\pm \frac{p}{m}t θ=2miπ±mpt
得到对应的角速度： d θ d t = ± p m \dfrac{d\theta}{dt}=\pm \dfrac{p}{m} dtdθ=±mp

因此“动波”有下列特性：
①全圆周上任何时间都有 2 m 2m 2m个节点、极大值和极小值；
②这些节点（与其他点一起）随时间以一定角速度 ± p m \pm \dfrac{p}{m} ±mp在圆周上旋转；
③两个动波具有相同的角频率和幅值，但旋转方向相反。

当盘以 ω \omega ω的速度旋转时，如果动波移动方向与 ω \omega ω相同，称为顺动波；反之称为逆动波。

逆动波相对于地面的角速度 ω 2 \omega_2 ω2为： ω 2 = p d m − ω \omega _2=\dfrac{p_d}{m}-\omega ω2=mpd−ω（ p d p_d pd是旋转情况下盘的自振频率，比静止盘要高）
可以看出，当 p d = m ω p_d=m\omega pd=mω时， ω 2 = 0 \omega_2=0 ω2=0，于是得出如下结论：

▶（逆动波）的移动速度和盘的旋转速度相等，波形将在空间停止不动，称为（驻波）。

6.4 盘振动的激振力

引起盘振动的激振力大致有三种来源：

（1）叶片受到周期性变化的气体力传递给盘；
（2）其它零件的力通过联接环或轴传递给盘；
（3）盘面气体压力不均，或有周期性变化。

第7章发动机的振动与平衡

7.1 临界转速

▶轴的挠度达到最大值时，这时轴的转速就称为（临界转速）。

平衡转子

假设一个弯曲平衡的轴盘系统，盘的重心与轴线重合，忽略轴的质量，并忽略盘重产生的静挠度。会有两种情况：
（1）不管什么转速下，盘的重心始终在旋转轴线上，轴不发生任何挠度。

（2）旋转时，轴发生挠度，只有在特定转速（临界转速）下，盘的离心力与轴的弹性恢复力平衡，此时轴可以产生任何挠度。

盘的离心力为： m y ω 2 my\omega^2 myω2 轴的弹性恢复力为： C y Cy Cy（ C C C为刚性系数）

列出平衡方程： m y ω 2 = C y my\omega^2=Cy myω2=Cy ，解得临界转速为： ω c r = C m \omega _{cr}=\sqrt{\dfrac{C}{m}} ωcr=mC

综述：完全平衡的轴－盘系统除非在特定转速下，轴可以产生任何挠度外，其它情况下，轴都不会有挠度。（✔）

不平衡转子

假设盘的重心与旋转轴不重合，带有一定的偏心距 e e e，盘装在跨度中央，此时无陀螺力矩。轴旋转时会有两种情况：

（一）亚临界状态

平衡方程为：
m ω 2 ( y + e ) = C y m\omega ^2\left( y+e \right) =Cy mω2(y+e)=Cy
解得挠度 y y y为:
y = e C m ω 2 − 1 = e ( p ω ) 2 − 1 = ( ω p ) 2 e 1 − ( ω p ) 2 = ( ω ω c r ) 2 e 1 − ( ω ω c r ) 2 y=\frac{e}{\dfrac{C}{m\omega ^2}-1}=\dfrac{e}{\left( \dfrac{p}{\omega} \right) ^2-1}=\frac{\left( \dfrac{\omega}{p} \right) ^2e}{1-\left( \dfrac{\omega}{p} \right) ^2}=\dfrac{\left( \dfrac{\omega}{\omega _{cr}} \right) ^2e}{1-\left( \dfrac{\omega}{\omega _{cr}} \right) ^2} \\ y=mω2C−1e=(ωp)2−1e=1−(pω)2(pω)2e=1−(ωcrω)2(ωcrω)2e
此时 ω < ω c r \omega<\omega_{cr} ω<ωcr，轮盘质心位于轴挠曲线的外侧。

（二）超临界状态

平衡方程为：
m ω 2 ( y − e ) = C y m\omega ^2\left( y-e \right) =Cy mω2(y−e)=Cy
解得挠度 y y y为:
y = e 1 − C m ω 2 = e 1 − ( p ω ) 2 = ( ω p ) 2 e ( ω p ) 2 − 1 = ( ω ω c r ) 2 e ( ω ω c r ) 2 − 1 y=\frac{e}{1-\dfrac{C}{m\omega ^2}}=\frac{e}{1-\left( \dfrac{p}{\omega} \right) ^2}=\frac{\left( \dfrac{\omega}{p} \right) ^2e}{\left( \dfrac{\omega}{p} \right) ^2-1}=\frac{\left( \dfrac{\omega}{\omega _{cr}} \right) ^2e}{\left( \dfrac{\omega}{\omega _{cr}} \right) ^2-1} y=1−mω2Ce=1−(ωp)2e=(pω)2−1(pω)2e=(ωcrω)2−1(ωcrω)2e
此时 ω > ω c r \omega>\omega_{cr} ω>ωcr，轮盘质心位于轴挠曲线的内侧。

总结：

①在 ω = p = C m \omega =p=\sqrt{\dfrac{C}{m}} ω=p=mC 时，挠度 y y y将无限增大，远离此处，挠度明显减小。偏心距存在与否，并不影响临界转速；
②对于同一转子，平衡得越好， e e e值越小，同一转速下，挠度呈比例下降，良好的平衡能减少振动；
③图中左右两支曲线并不对称，左支代表亚临界状态，右支代表超临界状态；
④当转子由亚临界越过临界过渡到超临界时，质心将由外侧转向内侧。

▶不平衡转子旋转时，在临界转速以下，处于（亚临界）状态；在临界转速以上，处于（超临界）状态。

偏心距的存在与否不影响转子临界转速的数值，因此，对转子的平衡并不能减少振动。（✘）

不完全平衡的轴-盘系统除非在特定的转速下，轴才有挠度。（✘）

当转子由亚临界越过临界而过渡到超临界时，质心将由挠曲线内侧转向外侧。（✘）

✈[例1]有单盘实心轴转子，尺寸如下图所示。设盘的偏心距为 3 × 1 0 − 5 m 3\times10^{-5}\mathrm{m} 3×10−5m，求 n = 2000 n=2000 n=2000和 3000 r p m 3000\mathrm{rpm} 3000rpm时，轴在装盘处的挠度。假设无摩擦和陀螺力矩。

由题目可知： E = 2.1 × 1 0 11 P a E=2.1\times10^{11}\mathrm{Pa} E=2.1×1011Pa， J = π d 4 / 64 = 3.976 × 1 0 − 8 m 4 J=\pi d^4/64=3.976\times10^{-8}\mathrm{m^4} J=πd4/64=3.976×10−8m4， m = 5 k g m=5\mathrm{kg} m=5kg， l = 1.2 m l=1.2\mathrm{m} l=1.2m， a = 0.4 / 1.2 = 1 / 3 a=0.4/1.2=1/3 a=0.4/1.2=1/3；

可算出轴在装盘处的刚性系数：
C = 3 E J a 2 ( 1 − a ) 2 l 3 = 2.935 × 1 0 5 N / m C=\frac{3EJ}{a^2\left( 1-a \right) ^2l^3}=2.935\times 10^5\mathrm{N}/\mathrm{m} C=a2(1−a)2l33EJ=2.935×105N/m
临界转速：
ω c r = C m = 242.3 r a d / s n c r = 60 ω c r 2 π = 2314 r p m \omega _{cr}=\sqrt{\frac{C}{m}}=242.3 \mathrm{rad}/\mathrm{s} \\ n_{cr}=\frac{60\omega _{cr}}{2\pi}=2314 \mathrm{rpm} ωcr=mC =242.3rad/sncr=2π60ωcr=2314rpm
当 n = 2000 r p m n=2000\mathrm{rpm} n=2000rpm时，盘处于亚临界状态
ω = 2 π n 60 = 209.4 r a d / s \omega =\frac{2\pi n}{60}=209.4\mathrm{rad}/\mathrm{s} ω=602πn=209.4rad/s
故盘处挠度为：
y = e ( ω ω c r ) 2 1 − ( ω ω c r ) 2 = 3 × 1 0 − 5 × ( 209.4 242.3 ) 2 1 − ( 209.4 242.3 ) 2 = 8.85174 × 1 0 − 5 m y=\frac{e\left( \dfrac{\omega}{\omega _{cr}} \right) ^2}{1-\left( \dfrac{\omega}{\omega _{cr}} \right) ^2}=\dfrac{3\times 10^{-5}\times \left( \dfrac{209.4}{242.3} \right) ^2}{1-\left( \dfrac{209.4}{242.3} \right) ^2}=8.85174\times 10^{-5}\mathrm{m} y=1−(ωcrω)2e(ωcrω)2=1−(242.3209.4)23×10−5×(242.3209.4)2=8.85174×10−5m
当 n = 3000 r p m n=3000\mathrm{rpm} n=3000rpm时，盘处于超临界状态
ω = 2 π n 60 = 314.2 r a d / s \omega =\frac{2\pi n}{60}=314.2\mathrm{rad}/\mathrm{s} ω=602πn=314.2rad/s
故盘处挠度为：
y = e ( ω ω c r ) 2 ( ω ω c r ) 2 − 1 = 3 × 1 0 − 5 × ( 314.2 242.3 ) 2 ( 314.2 242.3 ) 2 − 1 = 7.40184 × 1 0 − 5 m y=\frac{e\left( \dfrac{\omega}{\omega _{cr}} \right) ^2}{\left( \dfrac{\omega}{\omega _{cr}} \right) ^2-1}=\frac{3\times 10^{-5}\times \left( \dfrac{314.2}{242.3} \right) ^2}{\left( \dfrac{314.2}{242.3} \right) ^2-1}=7.40184\times 10^{-5}\mathrm{m} y=(ωcrω)2−1e(ωcrω)2=(242.3314.2)2−13×10−5×(242.3314.2)2=7.40184×10−5m

7.2 轴质量对临界转速的影响

先讨论光轴（不带盘）的临界转速，对轴上一微元段进行受力分析：

把离心力作为分布载荷，建立微分方程如下：
d 2 d x 2 ( E J d 2 y d x 2 ) = q = m 1 ω 2 y \frac{d^2}{dx^2}\left( EJ\frac{d^2y}{dx^2} \right) =q=m_1\omega ^2y dx2d2(EJdx2d2y)=q=m1ω2y
m 1 m_1 m1为单位长度的质量，对于等截面的均质轴， E J EJ EJ为常数，令 a 4 = m 1 ω 2 E J a^4=\dfrac{m_1\omega ^2}{EJ} a4=EJm1ω2，故得：
d 4 y d x 4 = a 4 y \frac{d^4y}{dx^4}=a^4y dx4d4y=a4y
对于双简支梁，上述微分方程的特征方程为：
sin ⁡ a l = 0 \sin al=0 sinal=0
解得 ( a l ) i = i π , i = 1 , 2 , 3 ⋯ (al)_i=i\pi,i=1,2,3\cdots (al)i=iπ,i=1,2,3⋯故得一系列的临界转速值为：
ω c r = a i 2 E J m 1 = ( a l ) i 2 l 2 E J A ρ \omega _{cr}=a_{i}^{2}\sqrt{\frac{EJ}{m_1}}=\frac{\left( al \right) _{i}^{2}}{l^2}\sqrt{\frac{EJ}{A\rho}} ωcr=ai2m1EJ =l2(al)i2AρEJ
因此前三阶转速： ω c r , 1 : ω c r , 2 : ω c r , 3 = f c r , 1 : f c r , 2 : f c r , 3 = 1 : 4 : 9 \omega _{cr,1}:\omega _{cr,2}:\omega _{cr,3}=f_{cr,1}:f_{cr,2}:f_{cr,3}=1:4:9 ωcr,1:ωcr,2:ωcr,3=fcr,1:fcr,2:fcr,3=1:4:9

现在讨论考虑轴质量的单盘转子的临界转速。设盘装在双简支轴的中央，且轴的临界转速与分布质量的光轴一样。

分布质量的光轴可以折合为中央带集中质量的 m 折 m_{折} m折的无重轴，折合质量可由下式解出：
ω c r , 1 = C m 折 = π 2 l 2 E J A ρ \omega _{cr,1}=\sqrt{\frac{C}{m_{\text{折}}}}=\frac{\pi ^2}{l^2}\sqrt{\frac{EJ}{A\rho}} ωcr,1=m折C =l2π2AρEJ
再考虑轴中央装有盘的情形:
ω c r , 1 = C m 折 + m 盘 \omega _{cr,1}=\sqrt{\frac{C}{m_{\text{折}}+m_{\text{盘}}}} ωcr,1=m折+m盘C
经过变换可得顿克（Dunkerley）公式：
1 ω 2 = 1 ω 0 2 + 1 ω 1 2 {\color{red} \frac{1}{\omega ^2}=\frac{1}{\omega _{0}^{2}}+\frac{1}{\omega _{1}^{2}}} ω21=ω021+ω121
此处 ω \omega ω（ = ω c r , 1 =\omega_{cr,1} =ωcr,1）是该系统一阶临界转速， ω 0 \omega_0 ω0、 ω 1 \omega_1 ω1分别为光轴和单盘无重轴的临界转速。

注意：①只能用于一阶临界转速；②不考虑陀螺力矩；③该公式是近似的，当盘位置接近支承时，误差较大；对于悬臂转子误差更大；④计算值低于精确值。

多盘转子的临界转速

对顿克公式进行推广，可得：
1 ω c r 2 = 1 ω 0 2 + 1 ω 1 2 + 1 ω 2 2 + ⋯ \frac{1}{\omega _{cr}^{2}}=\frac{1}{\omega _{0}^{2}}+\frac{1}{\omega _{1}^{2}}+\frac{1}{\omega _{2}^{2}}+\cdots ωcr21=ω021+ω121+ω221+⋯
其中， ω c r \omega_{cr} ωcr————考虑轴质量的多盘转子的一阶临界转速；

ω 0 \omega_{0} ω0————光轴的临界转速；

ω 1 \omega_{1} ω1————无重轴，只带盘1的系统临界转速；

ω 2 \omega_{2} ω2————无重轴，只带盘2的系统临界转速；

…

✈[例2]已知双支点等截面带盘的轴如下图所示，分别计算下列三种情况的临界转速：（1）光轴（不计盘质量）；（2）单盘无重轴；（3）单盘计入轴质量。

已知：
E = 2.1 × 1 0 11 P a ρ = 7.8 × 1 0 3 k g / m 3 A = π d 2 / 4 = 7.069 × 1 0 − 4 m 2 J = π d 4 / 64 = 3.976 × 1 0 − 8 m 4 m = 5 k g l = 1.2 m a = 0.4 / 1.2 = 1 / 3 E=2.1\times 10^{11}\mathrm{Pa} \\ \rho =7.8\times 10^3\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 \\ A=\pi d^2/4=7.069\times10^{-4}\mathrm{m}^2 \\ J=\pi d^4/64=3.976\times 10^{-8}\mathrm{m}^4 \\ m=5\mathrm{kg} \\ l=1.2\mathrm{m} \\ a=0.4/1.2=1/3 E=2.1×1011Paρ=7.8×103kg/m3A=πd2/4=7.069×10−4m2J=πd4/64=3.976×10−8m4m=5kgl=1.2ma=0.4/1.2=1/3
（1）光轴：
ω c r ′ = π 2 l 2 E J A ρ = 266.7 r a d / s n c r ′ = 60 ω c r ′ 2 π = 2547 r p m \omega _{cr}^{\prime}=\frac{\pi ^2}{l^2}\sqrt{\frac{EJ}{A\rho}}=266.7\mathrm{rad}/\mathrm{s} \\ n_{cr}^{\prime}=\frac{60\omega _{cr}^{\prime}}{2\pi}=2547\mathrm{rpm} ωcr′=l2π2AρEJ =266.7rad/sncr′=2π60ωcr′=2547rpm
（2）单盘无重轴：

轴在装盘处的刚性系数：
C = 3 E J a 2 ( 1 − a ) 2 l 3 = 2.935 × 1 0 5 N / m C=\frac{3EJ}{a^2\left( 1-a \right) ^2l^3}=2.935\times 10^5\mathrm{N}/\mathrm{m} C=a2(1−a)2l33EJ=2.935×105N/m
临界转速：
ω c r ′ ′ = C m = 242.3 r a d / s n c r ′ ′ = 60 ω c r 2 π = 2314 r p m \omega _{cr}^{''}=\sqrt{\frac{C}{m}}=242.3 \mathrm{rad}/\mathrm{s} \\ n_{cr}^{''}=\frac{60\omega _{cr}}{2\pi}=2314 \mathrm{rpm} ωcr′′=mC =242.3rad/sncr′′=2π60ωcr=2314rpm
（3）单盘计轴质量：

根据顿克公式：
1 ω c r 2 = 1 ( ω c r ′ ) 2 + 1 ( ω c r ′ ′ ) 2 ω c r = 179.3 r a d / s n c r = 60 ω c r 2 π = 1712 r p m \frac{1}{\omega _{cr}^{2}}=\frac{1}{\left( \omega _{cr}^{\prime} \right) ^2}+\frac{1}{\left( \omega _{cr}^{''} \right) ^2} \\ \omega _{cr}=179.3\mathrm{rad}/\mathrm{s} \\ n_{cr}=\frac{60\omega _{cr}}{2\pi}=1712\mathrm{rpm} ωcr21=(ωcr′)21+(ωcr′′)21ωcr=179.3rad/sncr=2π60ωcr=1712rpm

7.3 处理临界转速问题的方法

（1）将转子的临界转速调到发动机的最大转速以上

一般认为临界转速应高于最大工作转速的 30 % 30\% 30%，就可以避开大的振动。

（2）将转子的临界转速调到发动机的最低转速以下

（3）增加阻尼器或挠度阻尼器

▶对轴的挠度起到抑制效果最常用而有效的是（挤压油膜）阻尼器
（4）利用非线性的作用

（5）改善转子的平衡

7.4 发动机转子的平衡

▶发动机转子不平衡的表现形式有：（静不平衡）和（动不平衡）两种。

转子外径D与其长度L满足D/L<5时，不论其工作转速高低都只需进行静平衡。（✘）[D/L>5,需静平衡]