无穷小

当limx→x0f(x)=0\lim_{x\rightarrow x_{0}} f(x)=0，时称函数f(x)f(x)是x→x0x\rightarrow x_{0}的无穷下。

什么意思呢？
就是说当x→x0x\rightarrow x_{0}，函数f(x)f(x)的绝对值可以是无穷小的数。

注意：
有限个无穷小的成绩/加和都为无穷小

无穷小的比较

想想当x→0x\rightarrow 0时，x，x2，3sinxx，x^2，3sin x都是无穷小，而它们取极限的结果是（x→0x\rightarrow 0）：
limx2x=0\lim \frac{x^2}{x}=0
limxx2=∞\lim \frac{x}{x^2}=\infty
lim3sinxx=3\lim \frac{3sin x}{x}=3

虽然三个函数在x趋于0的时候都为无穷小，但取极限的比值不同。这反映了趋于0的速度的“快慢”不同。

常见的无穷小分类（x→x0，α(x),β(x)x\rightarrow x_{0}，\alpha (x),\beta (x)都为无穷小）：

如果limx→x0α(x)β(x)=0\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=0，则α(x)\alpha (x)为β(x)\beta (x)的高阶无穷小，记作α=o(β)\alpha=o(\beta)
如果limx→x0α(x)β(x)=∞\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\infty，则α(x)\alpha (x)为β(x)\beta (x)的低阶无穷小。
如果limx→x0α(x)β(x)=C(C≠0)\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=C(C\neq 0)，则α(x)\alpha (x)为β(x)\beta (x)的同阶无穷小。
如果limx→x0α(x)βk(x)=C(C≠0,k>0)\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{\alpha (x)}{\beta ^k(x)}=C(C\neq 0,k>0)，则α(x)\alpha (x)为β(x)\beta (x)的k阶无穷小。
如果limx→x0α(x)β(x)=1\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=1，则α(x)\alpha (x)为β(x)\beta (x)的等价无穷小，记作α∼β\alpha \sim \beta。

当x→0x\rightarrow 0时，常见的等价无穷小为：
x→sinx→tanx→arctanx→ln(1+x)→ex−1x\rightarrow sin x\rightarrow tanx\rightarrow arctanx\rightarrow ln(1+x)\rightarrow e^x-1
1−cosx→12x21-cosx\rightarrow \frac{1}{2}x^2

无穷大

无穷大是什么呢？
当自变量趋于某一个值x0x_{0}的时候，函数值f(x)f(x)的绝对值大于任一给定的正数M，说明此时f(x)f(x)位x→x0x\rightarrow x_{0}的无穷大

如：

此时，当x→0x\rightarrow 0时，函数y=1xy=\frac{1}{x}是x→0x\rightarrow 0的无穷大。
即limx→x0f(x)=∞\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\infty

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