高等数学：第一章 函数与极限（4）无穷小与无穷大
§1.5 无穷小与无穷大
一、无穷小
1、无穷小的描述性定义
如果函数
当
(或
) 时的极限为零，那么，称函数为(或) 时的无穷小。
2、无穷小的精确定义
，
（或
），当
(或
)时，有
成立，则称函数
为当
（或
）时的无穷小，记作
无穷小并不是一个全新的概念，仅仅是在自变量的变化过程中，函数以零为极限。只是由于这类极限在高等数学中具有其特殊的地位，我们宁愿赋予它这一术语。
3、函数极限与无穷小的关系
【定理】
在自变量的同一变化过程 
(或 
)中，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;
反之，如果函数可表示成常数与无穷小之和的形式， 则该常数就是函数的极限。
【证明】设
， 依函数极限的定义有:
令 
， 则 
是 时的无穷小，且
即
等于它的极限 
与一个无穷小 之和。
反过来，
设 ， 其中 是常数， 是 时的无穷小。
因 是时的无穷小， 依无穷小的定义有:
从而有 
。
即 是当 时的极限。
( 类似地可证明 时的情形 )
二、无穷大
1、无穷大的描述性定义
如果函数当(或)时，其绝对值
无限地增大，那么称函数为 (或) 时的无穷大。
2、无穷大的精确化定义
，
（或 
），当 
（或）时，有
成立，则称函数为当 （或 ）时的无穷大。
无穷大是一个全新的概念，对它的理解应注意如下几点:
(1)、据函数极限定义，若函数当(或)时为无穷大，那么函数的极限实际上是不存在的。但是为了描述函数的这一特别有用的性态，我们宁愿称函数的极限是无穷大，并记作
(2)、若将定义中
换成
，就记作
或
3、无穷小与无穷大的关系
【定理】
在自变量的同一变化过程（或 ）中，如果为无穷大，则
为无穷小；
反之，如果为无穷小，且
，则为无穷大。
这一定理所陈述的事实是显然的， 证明从略。
【例】试证明: 
证明：，欲使
，只需 
，
可取
，当 
时，有
成立，故。
这一极限具有十分显著的几何特征，它表明:
直线
是曲线
的一条铅直渐近线。
用matlab作出该函数在区间[0，1]上的图形（事实上是[0，0.995]）上的图形，可以清楚地看出这一点。
不难将这一事实推广到一般
若
，则直线 
是曲线
的一条铅直渐近线。
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