狄拉克函数及其基本性质

狄拉克函数其实是一种广义函数，有关广义函数的更多内容，可以参考施瓦兹大佬亲笔写的《广义函数论》，很精彩。

定义由狄拉克给出：
∫−∞∞δ(t)dt=1\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)\, dt = 1∫−∞∞δ(t)dt=1 δ(t)=0,t≠0\delta(t) = 0 , t \ne 0δ(t)=0,t=0

δ(t)\delta(t)δ(t)的基本性质

筛选性
- x(t)δ(t−t0)=x(t0)δ(t−t0)x(t)\delta(t-t_0) = x(t_0)\delta(t-t_0)x(t)δ(t−t0)=x(t0)δ(t−t0)
- x(t)δ(t)=x(0)δ(t)x(t)\delta(t) = x(0)\delta(t)x(t)δ(t)=x(0)δ(t)
- ∫−∞∞x(t)δ(t−t0)dt=x(t0)\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-t_0)\, dt = x(t_0)∫−∞∞x(t)δ(t−t0)dt=x(t0)
- ∫−∞∞x(t)δ(t)dt=x(0)\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t)\, dt = x(0)∫−∞∞x(t)δ(t)dt=x(0)
偶函数：δ(−t)=δ(t)\delta(-t) = \delta(t)δ(−t)=δ(t)
尺度变换：δ(at)=1∣a∣δ(t)\delta(at) = \frac{1}{\vert a \vert}\delta(t)δ(at)=∣a∣1δ(t)
卷积特性：x(t)∗δ(t−t0)=x(t−t0)x(t) * \delta(t-t_0) = x(t-t_0)x(t)∗δ(t−t0)=x(t−t0)
对任意函数f(t)f(t)f(t)，都有δ(f(t))=∑i1∣f′(ti)∣δ(t−ti)\delta(f(t)) = \sum_i\frac{1}{\vert f^\prime(t_i) \vert}\delta(t-t_i)δ(f(t))=i∑∣f′(ti)∣1δ(t−ti)其中tit_iti为f(t)f(t)f(t)的零点。
与阶跃函数u(t)u(t)u(t)的关系：∫∞tδ(τ)dτ=u(t)\int_{\infty}^t \delta(\tau)\,d\tau= u(t)∫∞tδ(τ)dτ=u(t) ddtu(t)=δ(t)\frac{d}{dt}u(t) = \delta(t)dtdu(t)=δ(t)
注意，同一时刻出现的单位冲激、高阶冲激（二阶导以上的）间的乘积，如δ2(t)\delta^2(t)δ2(t)，δ(t)δ′(t)\delta(t)\delta^\prime(t)δ(t)δ′(t)等，都没有意义。

δ′(t)\delta^\prime(t)δ′(t)的基本性质

δ′(t)\delta^\prime(t)δ′(t)的面积为0：∫−∞∞δ′(t)dt=0\int_{-\infty}^{\infty} \delta^\prime(t)\, dt = 0∫−∞∞δ′(t)dt=0
筛选性：
- x(t)δ′(t)=x(0)δ′(t)−x′(0)δ(t)x(t)\delta^\prime(t) = x(0)\delta^\prime(t) - x^\prime(0)\delta(t)x(t)δ′(t)=x(0)δ′(t)−x′(0)δ(t)
- ∫−∞∞x(t)δ′(t)dt=−x′(0)\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta^\prime(t)\, dt = -x^\prime(0)∫−∞∞x(t)δ′(t)dt=−x′(0)
- ∫−∞∞x(t)δ′(t−t0)dt=−x′(t0)\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta^\prime(t - t_0)\, dt = -x^\prime(t_0)∫−∞∞x(t)δ′(t−t0)dt=−x′(t0)
奇函数：δ′(−t)=−δ′(t)\delta^\prime(-t) = -\delta^\prime(t)δ′(−t)=−δ′(t)
尺度变换：δ′(at)=δ′(t)a∣a∣\delta^\prime(at) = \frac{\delta^\prime(t)}{a\vert a \vert}δ′(at)=a∣a∣δ′(t)

δ(k)(t)\delta^{(k)}(t)δ(k)(t)的基本性质

这一条是上面两条的推广，当阶次提高到kkk，性质如下（δ(k)(t)\delta^{(k)}(t)δ(k)(t)表示δ(t)\delta(t)δ(t)的kkk阶导数）：

筛选性：∫−∞∞δ(k)(t)x(t)dt=(−1)kxk(0),k≥0\int_{-\infty}^{\infty}\delta^{(k)}(t)x(t)\, dt = (-1)^kx^k(0), k\geq0∫−∞∞δ(k)(t)x(t)dt=(−1)kxk(0),k≥0
奇偶性：δ(k)(t)=(−1)kδ(k)(−t)\delta^{(k)}(t) = (-1)^k\delta^{(k)}(-t)δ(k)(t)=(−1)kδ(k)(−t)，这表明，若kkk为奇数，则δ(k)(t)\delta^{(k)}(t)δ(k)(t)为奇函数，否则为偶函数。
∫−∞∞δ(k)(t)dt=0,k≥1\int_{-\infty}^{\infty}\delta^{(k)}(t)\, dt = 0, k\geq1∫−∞∞δ(k)(t)dt=0,k≥1
若x(t)x(t)x(t)的kkk阶导数在t=0t=0t=0处连续，则x(t)δ(k)(t)=∑m=0k(−1)mCkmx(m)(0)δ(k−m)(t),k≥0x(t)\delta^{(k)}(t) = \sum_{m=0}^k(-1)^mC_k^mx^{(m)}(0)\delta^{(k-m)}(t), k\geq0x(t)δ(k)(t)=m=0∑k(−1)mCkmx(m)(0)δ(k−m)(t),k≥0
x(t)∗δ(k)(t−t0)=x(k)(t−t0)x(t)*\delta^{(k)}(t-t_0) = x^{(k)}(t-t_0)x(t)∗δ(k)(t−t0)=x(k)(t−t0)，当k=−1k=-1k=−1时，就变成了x(t)∗u(t)=∫−∞tx(τ)dτx(t)*u(t) = \int_{-\infty}^tx(\tau)\,d\taux(t)∗u(t)=∫−∞tx(τ)dτ

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