B-样条基函数：重要性质

B-spline Basis Functions:Important Properites

让我们回忆B-样条基函数的定义如下：

这些基函数有如下性质，许多与贝塞尔基函数的相似。

N_i,p(u) 是一个在u 上的p 次多项式
非负性 -- 对所有的 i, p 和 u, N_i,p(u) 是非负的
局部支撑（Local Support） -- N_i,p(u) 是在[u_i,u_i+p₊₁)上的非零多项式
这个在前面已经讨论过。
在任一区间 [u_i, u_i₊₁),最多有 p+1 个 p 次的基函数非零，即: N_i-p,p(u), N_i-p_+1,p(u), N_i-p_+2,p(u), ..., 和 N_i,p(u)
单位分解（Partition of Unity） -- 所有非零的 p 次基函数在区间[u_i, u_i₊₁)上的和（sum）是 1:
上一条性质表明N_i-p,p(u), N_i-p_+1,p(u), N_i-p_+2,p(u), ..., 和 N_i,p(u) 在[u_i, u_i₊₁)上非零这条性质说明这些 p+1 个基函数的累加和1.
如果节点数是 m+1, 基函数的次数是 p, 而p 次基函数的数目是n+1,，那么m = n + p + 1 :
这不难理解。设 N_n,p(u) 是最后一个p 次基函数。它在 [u_n, u_n+p₊₁)上非零因为它是最后一个基函数， u_n+p₊₁ 肯定是最后一个节点u_m。因此，我们有 u_n+p₊₁ = u_m 及 n + p + 1 = m. 总之，给定 m 和 p, 设 n = m - p - 1 则 p 次基函数是N_0,p(u), N_1,p(u), N_2,p(u), ..., 和 N_n,p(u).
基函数 N_i,p(u) 是p 次多项式的复合曲线，连接点在[u_i, u_i+p₊₁ ) 上的节点处。
上一页的例子很好地说明了这个性质。例如 N_0,2(u), 其在 [0,3)上非零，是由定义在[0,1), [1,2) 和 [2,3)上的三个抛物线构建而成。它们在节点2 和3处连接在一起。.
在一个有重复度k的节点处，基函数 N_i,p(u) 是 C^p-k 连续的。
因此，增加重复度减小连续性的层次（level），增加次数增加连续性。上述2次基函数 N_0,2(u)在节点2 和 3处是 C¹连续的，因为它们是简单节点。

多重节点的影响

多重节点对基函数的计算和一些“计算”性质有很重要的影响。我们会看到其中两个，在下一页会有一个计算实例。

每个重复度 k 的节点减小最多k-1 基函数的非零定义域。
考虑 N_i,p(u) 和 N_i_+1,p(u). 前者在[u_i, u_i+p₊₁)上非零而后者在[u_i₊₁, u_i+p₊₂)上非零如果我们移动 u_i+p₊₂ 到 u_i+p₊₁ 以至于它们变为一个双重节点。那么， N_i,p(u) 仍然在 p+1节点区间上非零；但是，N_i_+1,p(u) 非零的节点区间数目减小了一个因为区间[u_i+p₊₁,u_i+p₊₂) 消失了。

这个观察很容易推广。实际上，忽略节点区间端点变化，为了创建一个重复度k的节点，会影响 k-1个基函数。 One of them loses one knot span, a second of them loses two, a third of them loses three and so on. （译注：这句没看懂）

下图显示了5次基函数，其左端点节点和右端点节点有重复度6，而它们之间的所有节点数简单的（图（a））。图（b）是移动 u₅ 到 u₆的结果。那些在u₆ 结束的基函数在更少的节点区间上非零。然后u₄ 再然后 u₃ 被移动到u₆, 使得 u₆ 是重复度4的节点（图（c）和（d））。图（e）显示移动u₂ 到 u₆ 的结果，创建了一个重复度5的节点。


(a)		(b)

(c)		(d)

(e)

在每个重复度k的内部节点，非零基函数的数目最多p - k + 1, 其中 p 是基函数的次数。
因为移动 u_i_-1 到 u_i 会导致一个在u_i_-1 结束非零的基函数移到u_i结束非零，这样使得在 u_i 上非零基函数的数目减小了一个。更准确地，u_i的重复度增加1会使得非零基函数的数目减小1. 因为在u_i 上最多有p+1 个基函数非零，那么在一个重复度k 的节点上最多有 (p + 1) - k = p - k + 1个非零基函数。.

在上述图中，因为节点u₆ 的重复度是1 (简单), 2, 3, 4 和 5, 在 u₆ 上的非零基函数数目是5, 4, 3, 2 和1.

译注：

- 本文翻译是“B-样条曲线（B-spline Curves）教程”中的一部分，其余翻译部分见“B-样条曲线（B-spline Curves）教程目录”。
- “B-样条曲线（B-spline Curves）教程”是翻译自C.-K. Shene博士的CS3621 Introduction to Computing with Geometry Notes的第6部分“B-spline Curves”。
- 本文原文地址：B-spline Basis Functions: Important Properties 。
- 本文首发“博士数学家园 ”