P4318 完全平方数 [二分答案+容斥+莫比乌斯函数]

完全平方数完全平方数完全平方数

D e s c r i p t i o n \mathcal{Description} Description
小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而这丝毫不影响他对其他数的热爱。

这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了小X。小X很开心地收下了。

然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

有 T T T 组数据, 每组数据的 K < = 1 0 9 K<=10^9 K<=109, T < = 50 T<=50 T<=50 .

最初想法最初想法最初想法
一个 完全平方数 的倍数分解质因数后, 存在有幂数大于 1 1 1的质因子 .
所以一个合法的数字必定是由若干个不同的质数相乘得来的.

思维断点: 怎么算出第 K K K 个合法的数 ?

正解部分正解部分正解部分
答案具有 单调性, 考虑 二分答案 ,
要解决的问题为: [ 1 , x ] [1,x] [1,x] 内有多少个合法的数,

设在 [ 1 , x ] [1,x] [1,x] 有 T m p Tmp Tmp 个合法的数,
则 T m p = x − ( x 2 2 + x 3 2 + ⋯   ) + ( x ( 2 ∗ 3 ) 2 + x ( 3 ∗ 5 ) 2 + ⋯   ) − ⋯ Tmp=x-(\frac{x}{2^2}+\frac{x}{3^2}+\cdots) + (\frac{x}{(2 * 3)^2}+\frac{x}{(3 * 5)^2}+\cdots)-\cdots Tmp=x−(22x+32x+⋯)+((2∗3)2x+(3∗5)2x+⋯)−⋯

设这个式子中的某一项分母为 t 2 t^2 t2, 则 t ∈ [ 1 , x ] t∈[1,\sqrt{x}] t∈[1,x ], 且 t t t 是由若干个不同的质数构成的.
根据 莫比乌斯函数 的性质, 没有学过的可以看这里 ,

若 μ ( t ) = 1 \mu(t)=1 μ(t)=1, t t t是由偶数个质数构成的, 该项为正 .
若 μ ( t ) = − 1 \mu(t)=-1 μ(t)=−1, t t t是由奇数个质数构成的, 该项为负 .

于是 T m p = ∑ i = 1 x μ ( i ) ⌊ x i 2 ⌋ Tmp=\sum_{i=1}^{\sqrt{x}}\mu(i)\lfloor \frac{x}{i^2}\rfloor Tmp=i=1∑x μ(i)⌊i2x⌋
问题得以解决.

时间复杂度 O ( x l o g x ) O(\sqrt{x}logx) O(x logx), 其中 x m a x = 1 0 10 x_{max}=10^{10} xmax=1010

实现部分实现部分实现部分
二分的上界为 K ∗ 10 K*10 K∗10 (能开多大开多大…) .
但是记得开 l o n g l o n g long\ long long long

#include<cmath>
#include<cstdio>
#define reg register
typedef long long ll;const int maxn = 1e6 + 100;int p_cnt;
int p[maxn];
int mu[maxn];bool is_p[maxn];void sieve(){p_cnt = 0, mu[1] = 1;for(reg int i = 2; i < maxn; i ++){if(!is_p[i]) p[++ p_cnt] = i, mu[i] = -1;for(reg int j = 1; j <= p_cnt && p[j]*i < maxn; j ++){int t = p[j] * i;is_p[t] = 1;if(i % p[j] == 0){ mu[t] = 0; break ; }mu[t] = -mu[i];}}
}ll Calc(ll mid){ll lim = sqrt(mid);ll s = 0;for(reg ll i = 1; i <= lim; i ++) s += mu[i] * (mid/i/i);return s;
}void Work(){ll K;scanf("%lld", &K);ll l = 1, r = K*10;while(l < r){ll mid = l+r >> 1;if(Calc(mid) >= K) r = mid;else l = mid + 1;}printf("%lld\n", r);
}int main(){//        freopen("a.in", "r", stdin);
//        freopen("a.out", "w", stdout);sieve();int T;scanf("%d", &T);while(T --) Work();return 0;
}

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