正题

题目链接:
https://www.luogu.org/problem/P4318
https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2440

题目大意

完全平方数只对应任意一个的正整数满足d∣n,d2∤nd\mid n,d^2\nmid nd∣n,d2∤n(也就是nnn的质因数分解后都没有次数)。
求第kkk个完全平方数

解题思路

考虑二分答案，将问题转换为判定求1∼mid1\sim mid1∼mid内有多少个完全平方数。
考虑容斥，我们考虑用1∼mid1\sim \sqrt mid1∼mid这些数中的无平方因子数进行容斥。而因为会有重复，我们发现对应xxx来说的容斥系数就是μ(x)\mu (x)μ(x)(首先保证了一定是无平方因子数，然后若只有一个质因数μ(x)=−1\mu(x)=-1μ(x)=−1否则μ(x)=1\mu(x)=1μ(x)=1这样就是容斥系数了)。而对应xxx来说可以组成⌊nx2⌋\lfloor \frac{n}{x^2}\rfloor⌊x2n⌋个平方因子数，所以个数为
∑i=1mμ(x)⌊midi2⌋\sum_{i=1}^{\sqrt m}\mu(x)\lfloor \frac{mid}{i^2}\rfloori=1∑mμ(x)⌊i2mid⌋

codecodecode

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=100010;
ll T,n,l,r,mu[N+10],prime[N+10],cnt;
bool v[N+10];
ll check(ll n)
{ll ans=0;for(ll i=1;i*i<=n;i++)ans+=mu[i]*(n/(i*i));return ans;
}
int main()
{scanf("%lld",&T);mu[1]=1;for(ll i=2;i<=N;i++){if(!v[i])mu[i]=-1,prime[++cnt]=i;for(ll j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=N;j++){v[i*prime[j]]=1;if(!(i%prime[j])) break;mu[i*prime[j]]=-mu[i];}}while(T--){scanf("%lld",&n);l=1;r=2*n;while(l<=r){ll mid=(l+r)/2;if(check(mid)>=n) r=mid-1;else l=mid+1;}printf("%lld\n",l);}
}

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P4318,bzoj2440-完全平方数【二分答案,莫比乌斯函数,容斥】

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