【BZOJ2440】完全平方数，莫比乌斯反演+二分答案+容斥思想

Time:2016.05.29
Author:xiaoyimi
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思路：
这是一个和μ函数有很大关系的题目

x以内的无平方因子数=无需是任何质数的倍数的数的数量(即x)-是至少一个质数平方倍数的数的数量+是至少两个质数平方倍数的数的数量-是至少三个质数平方倍数的数的数量…

看一下μ函数的定义
$\mu(n)=\left\{\begin{matrix} 0 \ ,if \ d>1 \ and \ d^2|n\\ (-1)^k,k=\sum_ia_i \ ,n=\prod_i p_i^{a_i} \end{matrix}\right.$
具体操作就是在[0,2n]（据说可以证明上界是2n？？？）每次二分判断x以内的非平方倍数是否大于等于n，是就令r=mid-1，反之就是l=mid+1，判断时就是∑n√i=1⌊μ(i)∗ni2⌋\sum^{\sqrt n}_{i=1}⌊\frac {μ(i)*n}{i^2}⌋
注意：
l,r,mid计算时要开long long（或者unsigned int）
代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define LL long long
using namespace std;
int T,n;
int prime[50000],mu[50000];
int vis[50000];
int in()
{char ch=getchar();int t=0;while (!isdigit(ch)) ch=getchar();while (isdigit(ch)) t=(t<<1)+(t<<3)+ch-48,ch=getchar();return t;
}
void init()
{mu[1]=1;for (int i=2;i<=46500;i++){if (!vis[i])prime[++prime[0]]=i,mu[i]=-1;for (int j=1;j<=prime[0];j++)if (i*prime[j]>46500) break;else{vis[i*prime[j]]=1;if (i%prime[j])mu[i*prime[j]]=-mu[i];else{mu[i*prime[j]]=0;break;}}}
}
bool judge(int x,int k)
{int ans=0;for (int i=1;i<=sqrt(x);i++)ans+=mu[i]*x/(i*i);return ans<k;
}
int solve(int k)
{int l=0,r=k<<1,ans=0;for (int mid=l+r>>1;l<=r;mid=(LL)l+r>>1)if (judge(mid,k)) l=mid+1;else ans=mid,r=mid-1;return ans;
}
main()
{init();T=in();while(T--)n=in(),printf("%d\n",solve(n));
}

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