AI笔记: 数学基础之角的概念和三角常用公式推导

关于角

1 ） 角的概念

在数学和物理中，弧度是角的度量单位。它是由国际单位制导出的单位
同一三角形中, 等边对等角, 等角对等边
直角三角形中, 30度角所对边等于斜边一半
直角三角形中, 斜边中线等于斜边一半
直角三角形中, 两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）
等腰三角形中, 两腰相等
等腰直角三角形中, 两直角边相等

2 ） 任意角

正角、负角、零角、象限角的概念
与角a终边相同的角的集合: {b∣b=a+2kπ,k∈Z}\{ b | b = a + 2k\pi, k \in Z \}{b∣b=a+2kπ,k∈Z}

3 ） 弧度制

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角
弧度与角度是可以换算的
- 90°、180°、270°、360° …
- π2、π、3π3、2π\frac{\pi}{2}、\pi、\frac{3\pi}{3}、2\pi2π、π、33π、2π …
∣a∣=lr|a| = \frac{l}{r}∣a∣=rl
弧长公式 l=nπR180=∣a∣Rl = \frac{n\pi R}{180} = |a|Rl=180nπR=∣a∣R
扇形面积公式 S=nπR2360=12lRS = \frac{n\pi R^2}{360} = \frac{1}{2} lRS=360nπR2=21lR

三角函数

任意角

设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y), 那么： sina=y,cosa=x,tana=yxsin a = y, cosa = x, tan a = \frac{y}{x}sina=y,cosa=x,tana=xy
设点A(x,y)为角a终边上任意一点，设 r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2}r=x2+y2 那么: sina=yr,cosa=xr,tana=yxcota=xysina = \frac{y}{r}, cosa = \frac{x}{r}, tana = \frac{y}{x} cota = \frac{x}{y}sina=ry,cosa=rx,tana=xycota=yx
sina, cosa, tana 在四个象限的符号和三角函数线的画法

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同角三角函数的基本关系式

平方关系：sin2a+cos2a=1sin^2 a + cos^2 a = 1sin2a+cos2a=1
商数关系：tana=sinacosatana = \frac{sina}{cosa}tana=cosasina
倒数关系：tanacota=1tana cota = 1tanacota=1

正弦、余弦、正切函数的图像和性质

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三角常用公式

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