P2532 [AHOI2012]树屋阶梯（$Catalan$数高精度）

P2532 [AHOI2012]树屋阶梯（Catalan数&高精度）

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思路：卡特兰数的变形，可根据包含直角点的矩形覆盖的阶梯点的位置进行加法原理，然后对每个情况进行乘法原理，可以得到卡特兰数的递推式的形式。

根据左上角阶梯的方案数 × \times ×右下角阶梯形的方案数 = = =该情况方案数
由上图可知：图1为 h ( 0 ) × h ( 3 ) h(0)\times h(3) h(0)×h(3)，图2为 h ( 1 ) × h ( 2 ) h(1)\times h(2) h(1)×h(2),图3为 h ( 2 ) × h ( 1 ) … h(2)\times h(1)\dots h(2)×h(1)…后面的图依次类推。

得到： h ( 4 ) = h ( 0 ) × h ( 3 ) + h ( 1 ) × h ( 2 ) + h ( 2 ) × h ( 1 ) + h ( 3 ) × h ( 0 ) h(4)=h(0)\times h(3)+h(1)\times h(2)+h(2)\times h(1)+h(3)\times h(0) h(4)=h(0)×h(3)+h(1)×h(2)+h(2)×h(1)+h(3)×h(0) 为 C a t a l a n Catalan Catalan递推式。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+5;
struct num{int a[N],l;
}ans;
int n;
void multi(num &b,int x){  //高精 乘 低精 int p=0;for(int i=1;i<=b.l;i++){b.a[i]=b.a[i]*x+p;p=b.a[i]/10;b.a[i]%=10;}while(p){b.a[++b.l]=p;p/=10;b.a[b.l]%=10;}
}
void div(num &b,int x){ //高精 除 低精 int p=0;for(int i=b.l;i>=1;i--){p=p*10+b.a[i];b.a[i]=p/x;p%=x;}while(!b.a[b.l]) b.l--;
}
int main(){scanf("%d",&n);ans.a[1]=ans.l=1;for(int i=2;i<=n;i++) multi(ans,i+n);for(int i=2;i<=n;i++) div(ans,i);for(int i=ans.l;i>=1;i--)printf("%d",ans.a[i]);return 0;
}

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