⭐算法入门⭐《二分枚举》中等05 —— LeetCode 1201. 丑数 III
文章目录
- 一、题目
- 1、题目描述
- 2、基础框架
- 3、原题链接
- 二、解题报告
- 1、思路分析
- 2、时间复杂度
- 3、代码详解
- 三、本题小知识
- 四、加群须知
一、题目
1、题目描述
给你四个整数：n 、a 、b 、c ，请你设计一个算法来找出第 n 个丑数。丑数是可以被 a 或 b 或 c 整除的 正整数 。
样例输入：n = 5, a = 2, b = 11, c = 13
样例输出：10
2、基础框架
- C语言 版本给出的基础框架代码如下：
int nthUglyNumber(int n, int a, int b, int c){}
3、原题链接
LeetCode 1201. 丑数 III
二、解题报告
1、思路分析
XXX 个数 中能被 aaa 和 bbb 同时整除的个数记为 ababab，能被 bbb 和 ccc 同时整除的记为 bcbcbc，能被 aaa 和 ccc 同时整除的记为 acacac，能被 aaa bbb ccc 同时整除的个数，记为 abcabcabc。根据容斥原理，a+b+c−ab−ac−bc+abca+b+c - ab - ac - bc + abca+b+c−ab−ac−bc+abc 就是能被任意一个数整除的个数。
而这里的 ababab 如何计算呢？ababab 的值，就等于 Xgcd(a,b)\frac {X} {gcd(a,b)}gcd(a,b)X。XXX 越大，肯定满足条件的丑数越多，这是一个直观感受（当然也可以很容易的证明）。所以我们可以二分枚举 XXX，然后再用上述公式判断可行，满足 a+b+c−ab−ac−bc+abc≥na+b+c - ab - ac - bc + abc \ge na+b+c−ab−ac−bc+abc≥n 条件的最小的 XXX 就是答案了，所有满足这个条件的数定义为绿色，然后二分找绿色的左边界即可。
2、时间复杂度
时间复杂度为 O(log2n)O(log_2n)O(log2n)。
3、代码详解
/************** 二分查找 数组 模板 **************/
/*1）传参的数组满足：红红红红红红红红绿绿绿绿绿绿绿； 2）返回值：绿色区段的左边界；
*/int isGreen(long long val, int x);int binarySearch(int l, int r, int x) {int mid;while(l + 1 < r) {mid = l + (r - l) / 2;if( isGreen(mid, x) )r = mid;elsel = mid;}return r;
}
/************** 二分查找 数组 模板 **************/
#define ll long long
int A, B, C;int gcd(int a, int b) {return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); // (1)
}
ll lcm(int a, int b) {return (ll)a / gcd(a, b) * b; // (2)
}int isGreen(ll val, int x) { // (3)ll ans = val / A + val / B + val / C - val / lcm(A, B) - val / lcm(B, C) - val / lcm(A, C) + val / lcm(lcm(A, B), C);return ans >= x;
}int nthUglyNumber(int n, int a, int b, int c){A = a;B = b;C = c;return binarySearch(0, 2000000001, n); // (4)
}- (1)(1)(1) 计算 aaa 和 bbb 的最大公约数；
- (2)(2)(2) 计算 aaa 和 bbb 的最小公倍数；
- (3)(3)(3) 利用容斥原理判断二分可行性；
- (4)(4)(4) 二分枚举找表达式满足的左边界就是答案；
三、本题小知识
二分枚举一般也被用来枚举一个定义域上的可行解，只要这个解满足单调性。
四、加群须知
相信看我文章的大多数都是「 大学生 」，能上大学的都是「 精英 」，那么我们自然要「 精益求精 」，如果你还是「 大一 」，那么太好了，你拥有大把时间，当然你可以选择「 刷剧 」，然而，「 学好算法 」，三年后的你自然「 不能同日而语 」。
那么这里，我整理了「 几十个基础算法 」 的分类，点击开启：
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