leetcode - 1201. 丑数 III

请你帮忙设计一个程序，用来找出第 n 个丑数。

丑数是可以被 a 或 b 或 c 整除的正整数。

示例 1：

输入：n = 3, a = 2, b = 3, c = 5
输出：4
解释：丑数序列为 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10… 其中第 3 个是 4。

示例 2：

输入：n = 4, a = 2, b = 3, c = 4
输出：6
解释：丑数序列为 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12… 其中第 4 个是 6。

示例 3：

输入：n = 5, a = 2, b = 11, c = 13 输出：10 解释：丑数序列为 2, 4, 6, 8, 10, 11, 12,
13… 其中第 5 个是 10。

示例 4：

输入：n = 1000000000, a = 2, b = 217983653, c = 336916467 输出：1999999984

提示：

1 <= n, a, b, c <= 10^9
1 <= a * b * c <= 10^18
本题结果在 [1, 2 * 10^9] 的范围内

解题思路：对于给定a，b，c三个数，在[0,k]范围内，能被a整除的数字个数为k/a，能被b整除的数字个数为k/b，能被c整除的数字个数为k/c。

但是因为存在重复的情况，所以我们得把重复的值去掉。

能同时被a和b整除的数字个数为k/(a和b的最小公倍数)，能同时被a和c整除的数字个数为k/(a和c的最小公倍数)，能同时被b和c整除的数字个数为k/(b和c的最小公倍数)。

还有一种情况是能同时被a，b和c同时整除的数，在[0,k]范围内能同时被a，b，c整除的数字个数为k/(a和b和c的最小公倍数)。

根据上面三种情况，在[0,k]范围内的丑数个数为：k/a+k/b+k/c−k/(a,b最小公倍数)−k/(a,c最小公倍数)−k/(b,c最小公倍数)+k/(a,b,c最小公倍数)k/a + k/b + k/c - k/(a,b最小公倍数) - k/(a,c最小公倍数) - k/(b,c最小公倍数) + k/(a,b,c最小公倍数)k/a+k/b+k/c−k/(a,b最小公倍数)−k/(a,c最小公倍数)−k/(b,c最小公倍数)+k/(a,b,c最小公倍数)

两个数的最小公倍数可以通过以下公式进行计算：两个数的最小公倍数=两个数的乘积/两个数的最大公因数两个数的最小公倍数=两个数的乘积/两个数的最大公因数两个数的最小公倍数=两个数的乘积/两个数的最大公因数具体求解最小公倍数方法和证明可以看一下这个证明博客。

最大公因数可以通过辗转相除法得到，具体证明过程可以看一下这篇博客。

其C++代码如下：

class Solution {public:int nthUglyNumber(int n, int a, int b, int c) {int a_b = max_common_factor(a,b);  // 获得a和b的最大公因数 int a_c = max_common_factor(a,c);  // 获得a和c的最大公因数 int b_c = max_common_factor(b,c);  // 获得b和c的最大公因数 long max_a_b = (long)a*b/a_b;  // 获得a和b的最小公倍数 long max_a_c = (long)a*c/a_c;  // 获得a和c的最小公倍数long max_b_c = (long)b*c/b_c;  // 获得b和c的最小公倍数long max_a_b_c = (long)a*max_b_c/max_common_factor((long)a,max_b_c);  // 获得a，b，c的最小公倍数int l=min(a,min(b,c));  // 获得a，b，c中的最小值int r = INT_MAX;  // 二分查找中的最大值while(l<r){int mid = l + (r-l)/2;  // 取中位数int num_a = mid/a;  int num_b = mid/b;int num_c = mid/c;int num_a_b = mid/max_a_b;int num_a_c = mid/max_a_c;int num_b_c = mid/max_b_c;int num_a_b_c = mid/max_a_b_c;if((num_a + num_b + num_c - num_a_b - num_a_c - num_b_c + num_a_b_c)>=n)r = mid;elsel = mid+1;}return l;    }int max_common_factor(int a,int b)  // 取两个数的最大公因数{while(b!=0){int temp = a%b;a = b;b = temp;}return a;}
};

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