“带花树开花”算法来解非二分图的最大匹配

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最近在看Edmonds Blossom-Contraction Algorithm，发现Jack Edmonds那篇 PATHS, TREES, AND FLOWERS 的论文真是又臭又长……

于是找到了fanhq666的这篇文章，写得非常好。遂转贴于此。

原文链接：fanhq666的网易博客

另外我们班一位大神的百度空间里有一篇类似的文章也值得一看：cloudygoose的百度空间

顺便提一下，他最近在做dota解说，有兴趣的朋友可以看一下。百度搜索“鹤鹤解说”即可……

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在北京冬令营的时候，yby提到了“带花树开花”算法来解非二分图的最大匹配。

于是，我打算看看这是个什么玩意。其实之前，我已经对这个算法了解了个大概，但是。。。真的不敢去写。

有一个叫Galil Zvi的人（应该叫计算机科学家），写了篇论文：

Efficient Algorithms for Finding Maximal Matching in Graphs

（如果你在网上搜不到，可以：http://builtinclz.abcz8.com/art/2012/Galil Zvi.pdf）

这篇论文真神啊，它解决了4个问题：

（一般图+二分图）的（最大匹配+最大权匹配）问题。

算法的思想、故事，请自己看论文吧。

这个论文告诉了我们很多有趣的东西，例如：

用Dinic实现的二分图匹配的时间复杂度其实是O(M*N^0.5)，这也许能够解释为什么一般网络流算法比Hungry要快了。

另外，带花树算法的正确性的证明比较困难；而其时间复杂度是可以做到O(M*N^0.5)的，不过要详细实现，那么就快能到“ACM最长论文奖”了。

我写了一个实例代码：

http://builtinclz.abcz8.com/art/2012/ural1099.cpp

没错，这是用来解决URAL 1099 Work Schedule那题的。时间复杂度是O（N＾３）

简述一下“带花树”算法吧：

它的核心思想还是找增广路。假设已经匹配好了一堆点，我们从一个没有匹配的节点s开始，使用BFS生成搜索树。每当发现一个节点u，如果u还没有被匹配，那么就可以进行一次成功的增广；否则，我们就把节点u和它的配偶v一同接到树上，之后把ｖ丢进队列继续搜索。我们给每个在搜索树上的点一个类型：S或者T。当ｕ把它的配偶ｖ扔进队列的时候，我们把ｕ标记为T型，ｖ标记为S型。于是，搜索树的样子是这样的：

　　　　　　　ｓ

　　　　　　／　　＼

　　　　　ａ　　　　ｂ

　　　　　｜　　　　｜

　　　　　ｃ　　　　ｄ

　　　　／　＼　　／　＼

　　　　ｅ　ｆ　　ｕ　ｊ

　　　　｜　｜　　｜　｜

　　　　ｉ　ｊ　　ｖ　ｋ

其中，黑色竖线相连的两个点是已经匹配好的，蓝色斜线表示两个点之间有边，但是没有配对。T型的用红色，S型的用黑色。

这里有个小问题：一个S型点ｄ在某一步扩展的时候发现了点ｕ，如果ｕ已经在搜索树上了（即，出现了环），怎么办？

我们规定，如果ｕ的类型是T型，就无视这次发现；（这意味着我们找到了一个长度为偶数的环，直接无视）

　　　　　　　ｓ

　　　　　　／　　＼

　　　　　ａ　　　　ｂ

　　　　　｜　　　　｜

　　　　　ｃ　　　　ｄ　　　如果连出来的边是指向T型点的，就无视这个边。

　　　　／　＼　　／　＼

　　　　ｅ　ｆ＜－　　ｇ

　　　　｜　｜　　　　｜

　　　　ｉ　ｊ　　　　ｋ

否则，我们找到了一个长度为奇数的环，就要进行一次“缩花”的操作！所谓缩花操作，就是把这个环缩成一个点。

　　　　　　　ｓ

　　　　　　／　　＼

　　　　　ａ　　　　ｂ

　　　　　｜　　　　｜

　　　　　ｃ　　　　ｄ

　　　　／　＼　　／　＼

　　　　ｅ　ｆ　　｜　ｇ

　　　　｜　｜　　｜　｜

　　　　ｉ　ｕ＜－＋　ｋ

这个图缩花之后变成了５个点（一个大点，或者叫一朵花，加原来的４个点）：

缩点完成之后，还要把原来环里面的T型点统统变成S型点，之后扔到队列里去。

　　＋－－－－－－－－－－－－－＋

　　｜　　　　　　　　　　　　　｜

　　｜　　　　　ｓ　　　　　　　｜

　　｜　　　　／　　＼　　　　　｜

　　｜　　　ａ　　　　ｂ　　　　｜

　　｜　　　｜　　　　｜　　　　｜　　　现在是一个点了！还是一个S点。

　　｜　　　ｃ　　　　ｄ　　　　｜

　　｜　　／　＼　　／　＼　　　｜

＋－｜－－　　ｆ－－ｕ　　－－－｜－－－＋

｜　｜　　　　　　　　　　　　　｜　　　｜

｜　＋－－－－－－－－－－－－－＋　　　｜

｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜

ｅ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｇ

｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜

ｉ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｋ

为什么能缩成一个点呢？我们看一个长度为奇数的环（例如上图中的ｓ－ｂ－ｄ－ｊ－ｆ－ｃ－ａ－），如果我们能够给它中的任意一个点找一个出度（配偶），那么环中的其他点正好可以配成对，这说明，每个点的出度都是等效的。例如，假设我们能够给图中的点ｄ另找一个配偶（例如ｄ＇好了），那么，环中的剩下６个点正好能配成３对，一个不多，一个不少（算上ｄ和ｄ＇一共４对刚刚好）。

ａ－ｓ－ｂ－ｄ－ｄ＇　　　　　　　　　ａ　ｓ－ｂ　ｄ－ｄ＇

　＼　　　　｜　　　　　　　＝＞　　　　＼　　　　　

　　ｃ－ｆ－ｕ　　　　　　　　　　　　　　ｃ　ｆ－ｕ

这就是我们缩点的思想来源。有一个劳苦功高的计算机科学家证明了：缩点之前和缩点之后的图是否有增广路的情况是相同的。

缩起来的点又叫一朵花（ｂｌｏｓｓｏｍ）．

注意到，组成一朵花的里面可能嵌套着更小的花。

当我们最终找到一条增广路的时候，要把嵌套着的花层层展开，还原出原图上的增广路出来。

嗯，现在你对实现这个算法有任何想法吗？

天啊，还要缩点……写死谁。。。。。。

我一开始也是这么想的。

我看了一眼网上某个大牛的程序，之后结合自己的想法，很努力地写出了一个能AC的版本。

实现的要点有什么呢？

首先，我们不“显式”地表示花。我们记录一个Nｅｘｔ数组，表示最终增广的时候的路径上的后继。同时，我们维护一个并查集，表示每个点现在在以哪个点为根的花里（一个花被缩进另一朵花之后就不算花了）。还要记录每个点的标记。

主程序是一段BFS。对于每个由ｘ发展出来的点ｙ，分４种情况讨论：

１。ｘｙ是配偶（不说夫妻，这是非二分图。。。）或者ｘｙ现在是一个点（在一朵花里）：直接无视

２。ｙ是T型点：直接无视

３。ｙ目前单身：太好了，进行增广！

４。ｙ是一个S型点：缩点！缩点！

缩点的时候要进行的工作：

１。找ｘ和ｙ的LCA（的根）ｐ。找LCA可以用各种方法。。。直接朴素也行。

２。在Nｅｘｔ数组中把ｘ和ｙ接起来（表示它们形成环了！）

３。从ｘ、ｙ分别走到ｐ，修改并查集使得它们都变成一家人，同时沿路把Nｅｘｔ数组接起来。

Nｅｘｔ数组很奇妙。每时每刻，它实际形成了若干个挂在一起的双向链表来表示一朵花内部的走法。

　　　　　－－－－

　　　　／　　　　＼＜－－＋

　　　　｜　　　　｜　　　｜

　　　　｜　　　　｜＜－－＋

　　　　ｖ　　　　ｖ

　　　－－－－－－－－－－

　　／　　　　　　　　　　＼

＋－　　　　　　　　　　　　－－＋

｜　　　　　　　　　　　　　　　｜

＋－－－－＞ｓ　　＜－－－－－－＋　　　　　

有权图的最大匹配怎么做？

看论文吧。。。用类似KM的方法，不过，是给每个花再来一个权值。真的很复杂。。。

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