1 //Problem:http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1099
  2 #include <cstdio>
  3 #include <cstdlib>
  4 #include <cstring>
  5 #include <iostream>
  6 #include <algorithm>
  7 using namespace std;
  8 const int N=250;
  9 int n;
 10 int head;
 11 int tail;
 12 int Start;
 13 int Finish;
 14 int link[N];     //表示哪个点匹配了哪个点
 15 int Father[N];   //这个就是增广路的Father……但是用起来太精髓了
 16 int Base[N];     //该点属于哪朵花
 17 int Q[N];
 18 bool mark[N];
 19 bool map[N][N];
 20 bool InBlossom[N];
 21 bool in_Queue[N];
 22
 23 void CreateGraph(){
 24     int x,y;
 25     scanf("%d",&n);
 26     while (scanf("%d%d",&x,&y)!=EOF)
 27       map[x][y]=map[y][x]=1;
 28 }
 29
 30 void BlossomContract(int x,int y){
 31     fill(mark,mark+n+1,false);
 32     fill(InBlossom,InBlossom+n+1,false);
 33     #define pre Father[link[i]]
 34     int lca,i;
 35     for (i=x;i;i=pre) {i=Base[i]; mark[i]=true; }
 36     for (i=y;i;i=pre) {i=Base[i]; if (mark[i]) {lca=i; break;} }  //寻找lca之旅……一定要注意i=Base[i]
 37     for (i=x;Base[i]!=lca;i=pre){
 38         if (Base[pre]!=lca) Father[pre]=link[i]; //对于BFS树中的父边是匹配边的点，Father向后跳
 39         InBlossom[Base[i]]=true;
 40         InBlossom[Base[link[i]]]=true;
 41     }
 42     for (i=y;Base[i]!=lca;i=pre){
 43         if (Base[pre]!=lca) Father[pre]=link[i]; //同理
 44         InBlossom[Base[i]]=true;
 45         InBlossom[Base[link[i]]]=true;
 46     }
 47     #undef pre
 48     if (Base[x]!=lca) Father[x]=y;     //注意不能从lca这个奇环的关键点跳回来
 49     if (Base[y]!=lca) Father[y]=x;
 50     for (i=1;i<=n;i++)
 51       if (InBlossom[Base[i]]){
 52           Base[i]=lca;
 53           if (!in_Queue[i]){
 54               Q[++tail]=i;
 55               in_Queue[i]=true;     //要注意如果本来连向BFS树中父结点的边是非匹配边的点，可能是没有入队的
 56           }
 57       }
 58 }
 59
 60 void Change(){
 61     int x,y,z;
 62     z=Finish;
 63     while (z){
 64         y=Father[z];
 65         x=link[y];
 66         link[y]=z;
 67         link[z]=y;
 68         z=x;
 69     }
 70 }
 71
 72 void FindAugmentPath(){
 73     fill(Father,Father+n+1,0);
 74     fill(in_Queue,in_Queue+n+1,false);
 75     for (int i=1;i<=n;i++) Base[i]=i;
 76     head=0; tail=1;
 77     Q[1]=Start;
 78     in_Queue[Start]=1;
 79     while (head!=tail){
 80         int x=Q[++head];
 81         for (int y=1;y<=n;y++)
 82           if (map[x][y] && Base[x]!=Base[y] && link[x]!=y)   //无意义的边
 83             if ( Start==y || link[y] && Father[link[y]] )    //精髓地用Father表示该点是否
 84                 BlossomContract(x,y);
 85             else if (!Father[y]){
 86                 Father[y]=x;
 87                 if (link[y]){
 88                     Q[++tail]=link[y];
 89                     in_Queue[link[y]]=true;
 90                 }
 91                 else{
 92                     Finish=y;
 93                     Change();
 94                     return;
 95                 }
 96             }
 97     }
 98 }
 99
100 void Edmonds(){
101     memset(link,0,sizeof(link));
102     for (Start=1;Start<=n;Start++)
103       if (link[Start]==0)
104         FindAugmentPath();
105 }
106
107 void output(){
108     fill(mark,mark+n+1,false);
109     int cnt=0;
110     for (int i=1;i<=n;i++)
111       if (link[i]) cnt++;
112     printf("%d\n",cnt);
113     for (int i=1;i<=n;i++)
114       if (!mark[i] && link[i]){
115           mark[i]=true;
116           mark[link[i]]=true;
117           printf("%d %d\n",i,link[i]);
118       }
119 }
120
121 int main(){
122 //    freopen("input.txt","r",stdin);
123     CreateGraph();
124     Edmonds();
125     output();
126     return 0;
127 }

于是，我打算看看这是个什么玩意。其实之前，我已经对这个算法了解了个大概，但是。。。真的不敢去写。

有一个叫Galil Zvi的人（应该叫计算机科学家），写了篇论文：

Efficient Algorithms for Finding Maximal Matching in Graphs

（如果你在网上搜不到，可以：http://builtinclz.abcz8.com/art/2012/Galil%20Zvi.pdf）

这篇论文真神啊，它解决了4个问题：

（一般图+二分图）的（最大匹配+最大权匹配）问题。

算法的思想、故事，请自己看论文吧。

这个论文告诉了我们很多有趣的东西，例如：

用Dinic实现的二分图匹配的时间复杂度其实是O(M*N^0.5)，这也许能够解释为什么一般网络流算法比Hungry要快了。

另外，带花树算法的正确性的证明比较困难；而其时间复杂度是可以做到O(M*N^0.5)的，不过要详细实现，那么就快能到“ACM最长论文奖”了。

我写了一个实例代码：

http://builtinclz.abcz8.com/art/2012/ural1099.cpp

没错，这是用来解决URAL 1099 Work Schedule那题的。时间复杂度是O（N＾３）

简述一下“带花树”算法吧：

它的核心思想还是找增广路。假设已经匹配好了一堆点，我们从一个没有匹配的节点s开始，使用BFS生成搜索树。每当发现一个节点u，如果u还没有被匹配，那么就可以进行一次成功的增广；否则，我们就把节点u和它的配偶v一同接到树上，之后把ｖ丢进队列继续搜索。我们给每个在搜索树上的点一个类型：S或者T。当ｕ把它的配偶ｖ扔进队列的时候，我们把ｕ标记为T型，ｖ标记为S型。于是，搜索树的样子是这样的：

ｓ

／　　＼

ａ　　　　ｂ

｜　　　　｜

ｃ　　　　ｄ

／　＼　　／　＼

ｅ　ｆ　　ｕ　ｊ

｜　｜　　｜　｜

ｉ　ｊ　　ｖ　ｋ

其中，黑色竖线相连的两个点是已经匹配好的，蓝色斜线表示两个点之间有边，但是没有配对。T型的用红色，S型的用黑色。

这里有个小问题：一个S型点ｄ在某一步扩展的时候发现了点ｕ，如果ｕ已经在搜索树上了（即，出现了环），怎么办？

我们规定，如果ｕ的类型是T型，就无视这次发现；（这意味着我们找到了一个长度为偶数的环，直接无视）

否则，我们找到了一个长度为奇数的环，就要进行一次“缩花”的操作！所谓缩花操作，就是把这个环缩成一个点。

这个图缩花之后变成了５个点（一个大点，或者叫一朵花，加原来的４个点）：

缩点完成之后，还要把原来环里面的T型点统统变成S型点，之后扔到队列里去。

＋－－－－－－－－－－－－－＋

｜　　　　　　　　　　　　　｜

为什么能缩成一个点呢？我们看一个长度为奇数的环（例如上图中的ｓ－ｂ－ｄ－ｊ－ｆ－ｃ－ａ－），如果我们能够给它中的任意一个点找一个出度（配偶），那么环中的其他点正好可以配成对，这说明，每个点的出度都是等效的。例如，假设我们能够给图中的点ｄ另找一个配偶（例如ｄ＇好了），那么，环中的剩下６个点正好能配成３对，一个不多，一个不少（算上ｄ和ｄ＇一共４对刚刚好）。

ａ－ｓ－ｂ－ｄ－ｄ＇　　　　　　　　　ａ　ｓ－ｂ　ｄ－ｄ＇

＼　　　　｜　　　　　　　＝＞　　　　＼　　　　　

ｃ－ｆ－ｕ　　　　　　　　　　　　　　ｃ　ｆ－ｕ

这就是我们缩点的思想来源。有一个劳苦功高的计算机科学家证明了：缩点之前和缩点之后的图是否有增广路的情况是相同的。

缩起来的点又叫一朵花（ｂｌｏｓｓｏｍ）．

注意到，组成一朵花的里面可能嵌套着更小的花。

当我们最终找到一条增广路的时候，要把嵌套着的花层层展开，还原出原图上的增广路出来。

嗯，现在你对实现这个算法有任何想法吗？

天啊，还要缩点……写死谁。。。。。。

我一开始也是这么想的。

我看了一眼网上某个大牛的程序，之后结合自己的想法，很努力地写出了一个能AC的版本。

实现的要点有什么呢？

首先，我们不“显式”地表示花。我们记录一个Nｅｘｔ数组，表示最终增广的时候的路径上的后继。同时，我们维护一个并查集，表示每个点现在在以哪个点为根的花里（一个花被缩进另一朵花之后就不算花了）。还要记录每个点的标记。

主程序是一段BFS。对于每个由ｘ发展出来的点ｙ，分４种情况讨论：

１。ｘｙ是配偶（不说夫妻，这是非二分图。。。）或者ｘｙ现在是一个点（在一朵花里）：直接无视

２。ｙ是T型点：直接无视

３。ｙ目前单身：太好了，进行增广！

４。ｙ是一个S型点：缩点！缩点！

缩点的时候要进行的工作：

１。找ｘ和ｙ的LCA（的根）ｐ。找LCA可以用各种方法。。。直接朴素也行。

２。在Nｅｘｔ数组中把ｘ和ｙ接起来（表示它们形成环了！）

３。从ｘ、ｙ分别走到ｐ，修改并查集使得它们都变成一家人，同时沿路把Nｅｘｔ数组接起来。

Nｅｘｔ数组很奇妙。每时每刻，它实际形成了若干个挂在一起的双向链表来表示一朵花内部的走法。

－－－－

／　　　　＼＜－－＋

｜　　　　｜　　　｜

｜　　　　｜＜－－＋

ｖ　　　　ｖ

－－－－－－－－－－

／　　　　　　　　　　＼

＋－　　　　　　　　　　　　－－＋

｜　　　　　　　　　　　　　　　｜

｜　　　　　　　　　　　　　　　｜

＋－－－－＞ｓ　　＜－－－－－－＋　　　　　

有权图的最大匹配怎么做？

看论文吧。。。用类似KM的方法，不过，是给每个花再来一个权值。真的很复杂。。。

有一个人写了代码，好像是GPL许可证。。。你最好想办法搜到它的网站来看看版权的问题；总之，我先贴出来：

http://builtinclz.abcz8.com/art/2012/mwmatching.py