问题描述

给定一个带权有向图 G=(V,E) ，其中每条边的权是一个非负实数。

另外，还给定 V 中的一个项点，称为源。

现在我们要计算从源到所有其他各项点的最短路径长度。

这里的长度是指路上各边权之和。

这个问题通常称为单源最短路径问题。

算法基本思想

Dijkstra算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法。

其基本思想是，设置一个基点集合 S ，并不断地作贪心

选择来扩充这个集合。

一个项点属于集合 S 当且仅当从源到该项点的最短路

径长度已知。

初始时，S中仅含有源。设 u 是 G 的某一个项点，

我们把从源到 u 且中间只有经过 S 中项点的路称为

从源到 u 的特殊路径，并且数组 dist 来记录当前每个

项点所对应的最短特殊路径长度。

Dijkstra算法每次从 V-S 中取出具有最短特殊路径长度

的项点 u ，将 u 添加到 S 中，同时对数组 dist 作必要

的修改。

源程序:

// 程序员：黄江斌

// 功能：用 "贪心法" 解 "单源最短路径"

// 时间：18:58 2005-10-21

// Graph.h

#pragma once

#define maxPoint 100

class CGraph

{

public:

CGraph(void);

~CGraph(void);

bool SetGraph( double g[maxPoint][maxPoint] , int startPoint , int size );

bool Dijkstra();

void Display();

int GetStartPoint();

double GetBestWay( int dest , int path[] , int &pathLen );

private:

//标志当前图是否已经求解

bool solved;

//当前图布局

double graph[maxPoint][maxPoint];

//地图大小

int size;

//起点

int startPoint;

//当前图的解

double dist[maxPoint];

int prev[maxPoint];

};

// Graph.cpp

#include "StdAfx.h"

#include "./graph.h"

CGraph::CGraph(void)

{

for( int i = 0 ; i < maxPoint ; i++ )

{

for( int j = 0 ; j < maxPoint ; j++ )

graph[i][j] = -1;

}

startPoint = -1;

size = -1;

//当前图还没有求解

solved = false;

}

CGraph::~CGraph(void)

{

}

//

//

bool CGraph::SetGraph( double g[maxPoint][maxPoint] , int startPoint , int size )

{

for( int i = 0 ; i < size ; i++ )

{

for( int j = 0 ; j < size ; j++ )

graph[i][j] = g[i][j];

}

this->startPoint = startPoint;

this->size = size;

solved = false;

Dijkstra();

return true;

}

//

//

bool CGraph::Dijkstra()

{

bool s[maxPoint];

for( int j = 0 ; j < size ; j++ )

{

dist[j] = graph[startPoint][j];

s[j] = false;

//dist[i]<0，表示没有路径连接 结点startPoint 与 结点j

if( dist[j] < 0 )

prev[j] = 0;

else

prev[j] = startPoint;

}

//从起点出发

dist[startPoint] = 0;

s[startPoint] = true;

for( int i = 0 ; i < size ; i++ )

{

double temp;

int u = startPoint;

bool flag = false;

for( int j = 0 ; j < size ; j++ )

{

if( !s[j] )

{

//如果不是第一次比较，temp u，都已经赋值，则

if( flag )

{

if( dist[j] > 0 && dist[j] < temp )

{

u = j;

temp = dist[j];

}

}

else

{

u = j;

temp = dist[j];

flag = true;

}

}

}

s[u] = true;

for( int j = 0 ; j < size ; j++ )

{

if( !s[j] && graph[u][j] > 0 )

{

double newDist = dist[u] + graph[u][j];

if( dist[j] < 0 || newDist < dist[j] )

{

dist[j] = newDist;

prev[j] = u;

}

}

}

}

//标记当前问题已经解决

solved = true;

return true;

}

//

//

void CGraph::Display()

{

printf( "当前地图的邻接矩阵/n" );

for( int i = 0 ; i < size ; i++ )

{

for( int j = 0 ; j < size ; j++ )

{

printf( "%5.f" , graph[i][j] );

}

printf( "/n" );

}

}

//

//

double CGraph::GetBestWay( int dest , int path[] , int &pathLen )

{

int p = dest;

int theway[maxPoint];

int len = 0;

while( p != startPoint )

{

theway[len] = p;

p = prev[p];

len++;

}

theway[len] = startPoint;

len++;

for( int i = 0 , j = len - 1 ; i < len ; i++ , j-- )

path[i] = theway[j];

pathLen = len;

return dist[dest];

}

//

//

int CGraph::GetStartPoint()

{

return startPoint;

}

//

// Dijkstra.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。

//

#include "stdafx.h"

#include "conio.h"

#include "Graph.h"

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

{

double graph[][maxPoint] =

{

{ 1 , 10 , -1 , 30 , 100 } ,

{ -1 , 0 , 50 , -1 , -1 } ,

{ -1 , -1 , 0 , -1 , 10 } ,

{ -1 , -1 , 20 , 0 , 60 } ,

{ -1 , -1 , -1 , -1 , -1 }

};

int size = 5;

int start = 0;

int dest = 1;

int pathlen;

int path[maxPoint];

double dist;

CGraph g;

g.SetGraph( graph , start , size );

g.Display();

printf( "----------------------------------------/n" );

for( dest = 0 ; dest < size ; dest++ )

{

dist = g.GetBestWay( dest , path , pathlen );

printf( "从 %d 到 %d 的最短路径长 %.f/n" , g.GetStartPoint() , dest , dist );

printf( "所经结点为:/n" );

for( int i = 0 ; i < pathlen ; i++ )

printf( "%3d" , path[i] );

printf( "/n----------------------------------------/n" );

}

getch();

return 0;

}

// 程序说明：

// 本程序在 VC++.NET 2003 上调试通过

// 首先建立 Win32控制台应用程序，工程名为 Dijkstra

// 工程设置默认

// 添加 一般C++类 CGraph

// 填写以上内容

// 本文为学习“算法”时的实验内容// 所用教材// 《计算机算法设计与分析(第2版)》// 王晓东 编著// 电子工业出版社