878. 第 N 个神奇数字数学+二分

878. 第 N 个神奇数字

一个正整数如果能被 a 或 b 整除，那么它是神奇的。

给定三个整数 n , a , b ，返回第 n 个神奇的数字。因为答案可能很大，所以返回答案对 109 + 7 取模后的值。

示例 1：
输入：n = 1, a = 2, b = 3
输出：2
示例 2：
输入：n = 4, a = 2, b = 3
输出：6
提示：

1 <= n <= 10^9

2 <= a, b <= 4 * 10^4

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/nth-magical-number
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做题结果

成功

方法：数学+二分

1. 求最大公约数

2. 每到达一次最大公约数，就是从 a 到达的次数+从 b 到达次数 - lcm 次数

3. 那大概就在上一个公倍数，到下一个公倍数之间，比如 6,2,3 ，2和3最小公倍数是6，那每到达6就经过 3 个 2 的倍数和 2 个 3 的倍数，其中 6 是公共的，减掉 1个，那每经过 6，就消耗掉 4 个数，所以可以确定，n=6 是经过了 1 个最小公倍数周期,也就是 n/4*6=6，也就是大概在 6 到 12之间，可在这部分二分拿到答案。

class Solution {public int nthMagicalNumber(int n, int a, int b) {long lcm = lcm(a,b);long time = lcm/a+lcm/b-1;long left = n/time*lcm;long right = (n/time+1)*lcm;while(left<right){long mid = (right-left)/2+left;long cnt = mid/a+mid/b-mid/lcm;if(cnt<n){left = mid+1;}else{right = mid;}}return (int) (right%(long)(1e9+7));}private long lcm(long a, long b){long gcd = gcd(a,b);return a/gcd*b/gcd*gcd;}private long gcd(long a, long b){return b== 0?a:gcd(b,a%b);}
}

时间复杂度：O(log(max(a,b)))

空间复杂度：O(1)

其他，如果a,b 较小， n 足够大（中间计算超过long）的情况下，怎么处理呢？

可考虑记录一个周期，而非直接计算次数，前面的部分，可直接计算到公倍数求余的和，最后一部分可先缩减到第一个周期计算，然后再补充前面的余数再求余。

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