线性代数：约当标准型学习笔记

一、背景

线性代数是数学中重要的分支之一，在各个领域中都有广泛的应用。其中，矩阵的基本理论与方法是线性代数的重点和难点。本文主要介绍线性代数中的一种特殊矩阵形式：约当标准型。通过对约当标准型的定义、求法、性质及应用的介绍，希望读者能够深入理解和应用矩阵的相关知识。

二、定义

设 A \boldsymbol{A} A 是 n n n 阶方阵，若存在 n n n 维非零列向量 ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ r \boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_r ξ1,ξ2,⋯,ξr，满足：

A ξ i = λ i ξ i , ( i = 1 , 2 , ⋯ , r ) \boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}_i=\lambda_i\boldsymbol{\xi}_i,(i=1,2,\cdots,r) Aξi=λiξi,(i=1,2,⋯,r)，其中 λ i \lambda_i λi 为 A \boldsymbol{A} A 的 r r r 个不同的特征值。
对于所有非特征向量 η \boldsymbol{\eta} η， ( A − λ i E ) q i η = 0 \boldsymbol{(\boldsymbol{A}-\lambda_i \boldsymbol{E})}^{q_i}\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{0} (A−λiE)qiη=0，其中 q i q_i qi 为 ξ i \boldsymbol{\xi}_i ξi 对应的 Jordan 块的大小。

则称 A \boldsymbol{A} A 可以相似对角化为约当标准型，即：

J = ( J 1 0 ⋯ 0 0 J 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ J r ) \boldsymbol{J}=\left( \begin{matrix} \boldsymbol{J}_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \boldsymbol{J}_{2} & \cdots & 0\\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots &\boldsymbol{J}_{r} \end{matrix} \right) J= J10⋮00J2⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮Jr

其中，每个 J i \boldsymbol{J}_i Ji 是形如下面的 Jordan 块：

J i = ( λ i 1 0 ⋯ 0 0 λ i 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ i 1 0 0 ⋯ 0 λ i ) q i × q i \boldsymbol{J_{i}}=\left( \begin{matrix} \lambda_{i} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{i} & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{i} & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_{i} \end{matrix} \right)_{q_i\times q_i} Ji= λi0⋮001λi⋮0001⋱⋯⋯⋯⋯⋱λi000⋮1λi qi×qi

三、求法

对于一个矩阵 A \boldsymbol{A} A，要求其约当标准型，一般通过以下步骤：

求出 A \boldsymbol{A} A 的特征值和对应的特征向量。
对于每个特征值，按照以下步骤：
- 求出由该特征值对应的特征向量和线性无关的向量组成的矩阵 ξ \boldsymbol{\xi} ξ。
- 求出由 ξ \boldsymbol{\xi} ξ 构成的 Jordan 标准形矩阵 J i \boldsymbol{J_i} Ji，并将其放入到约当矩阵中。
得到的约当矩阵即是原矩阵的约当标准型。

四、性质

约当标准型是对角线上为特征值，且对角线以上为 1 1 1 的上三角形矩阵。
矩阵 A \boldsymbol{A} A 可以相似对角化为约当标准型的充要条件是：对于任意的 i , j = 1 , 2 , ⋯ , n i,j=1,2,\cdots,n i,j=1,2,⋯,n， ( A − λ i E ) p i j ξ j = 0 (\boldsymbol{A}-\lambda_i \boldsymbol{E})^{p_{ij}}\boldsymbol{\xi}_j=0 (A−λiE)pijξj=0，其中 p i j p_{ij} pij 表示 ξ i \boldsymbol{\xi_i} ξi 在 ξ j \boldsymbol{\xi_j} ξj 所在的 Jordan 块中的指数。
若 A \boldsymbol{A} A 可对角化，则其约当标准型即是其对角化矩阵。
约当标准型的特征值与原矩阵相同，但具有更多信息，例如特征向量的个数，以及特征向量的属于哪个 Jordan 块等。

五、应用

约当标准型在求解高阶线性微分方程、推导微积分和矩阵函数等方面都有广泛的应用。在数值计算中，通过计算约当标准型可以避免误差和不稳定性等问题，提高计算效率和精度。

六、总结

本文简要介绍了约当标准型的定义、求法、性质和应用。能够对其进行深入理解，将有助于读者更好地应用线性代数和矩阵相关的知识，解决实际问题。