gram矩阵的性质_第十七课：正交矩阵和GramSchmidt正交化——MIT线性代数课程学习笔记...

2024-04-16 06:51:42

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◎ 原创 | 深度学习算法与自然语言处理

◎ 作者 | 丁坤博

一. 知识概要

这一节从上一节结尾介绍的标准正交向量谈起，主要介绍标准正交向量组的性质与优点，以及将一组向量化为标准正交向量组的方法:Gram-Schmidt 正交化。

二. 标准正交向量

2.1 回顾标准正交向量

上节介绍过标准正交向量，我们通过一个式子进行回顾。设 q 是标准正交向量组中的任意向量，则

这很好地表现了标准正交向量组内各向量的性质。“标准”→ 长度为 1。

2.2 标准正交矩阵 Q

另外这节介绍另一个概念：标准正交矩阵 Q。所谓标准正交矩阵 Q，就是将标准正交向量组中的，列在同一个矩阵中：

这样的标准正交矩阵有一个很好的性质：

2.3 标准正交矩阵的作用

上面介绍了标准正交矩阵 Q 的各种性质，很显然这是一种新的性质优良的矩阵，接下来主要介绍它的具体应用之一：投影矩阵。

三. Gram-Schmidt 正交化

这部分介绍一个方法，从线性无关向量组入手，将其矩阵标准正交化。

四. 学习感悟

这一节主要内容围绕 Gram-Schmidt 正交化，即将一个空间的基化为互相标准正交的一组基，这样会方便我们的很多计算。这部分内容重在步骤，掌握其过程方法为主要，需要一定的习题量来熟练。

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