线性代数学习笔记（二十二）——向量间的线性关系（二）

本篇笔记首先介绍了线性相关和线性无关的概念，关键是找到一组不全为零相关系数使得等成立；然后重点介绍了一些重要的结论，以及向量组线性相关和线性无关的几个充要条件。

1 线性相关与线性无关

线性相关：设 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn为 n n n个 m m m维向量，若存在一组不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k n k_1,k_2,...,k_n k1,k2,...,kn，使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k n α n = O k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_n\alpha_n=O k1α1+k2α2+...+knαn=O成立，则称向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn线性相关，而称 k 1 , k 2 , . . . , k n k_1,k_2,...,k_n k1,k2,...,kn为一组相关系数；否则，称向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn线性无关。

只要找到一组就可以，能找到多组肯定也可以。

例如： 2 × ( 1 0 ) + 3 × ( 0 1 ) − 1 × ( 2 3 ) = O 2\times\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+3\times\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}-1\times\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=O 2×(10)+3×(01)−1×(23)=O，相关系数为 2 , 3 , − 1 2,3,-1 2,3,−1，不全为0；

又如： 1 × ( 2 0 ) − 2 × ( 1 0 ) + 0 × ( 8 9 ) = O 1\times\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}-2\times\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+0\times\begin{pmatrix}8\\9\end{pmatrix}=O 1×(20)−2×(10)+0×(89)=O，相关系数为 1 , − 2 , 0 1,-2,0 1,−2,0，也不全为0（注意：不是全不为0，有0可以，但别都是0就行）。

再如： 0 × ( 2 0 ) + 0 × ( 1 0 ) + 0 × ( 8 9 ) = O 0\times\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}+0\times\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+0\times\begin{pmatrix}8\\9\end{pmatrix}=O 0×(20)+0×(10)+0×(89)=O，等式虽然成立，但相关系数为 0 , 0 , 0 0,0,0 0,0,0，不能判断向量是否线性相关或线性无关。

线性无关：
{ ① 不是线性相关； ② 找不到一组不全为零的相关系数使等式成立； ③ 只有全为零的相关系统使等式成立。 \begin{cases} ①&不是线性相关；\\ ②&找不到一组不全为零的相关系数使等式成立；\\ ③&只有全为零的相关系统使等式成立。 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧①②③不是线性相关；找不到一组不全为零的相关系数使等式成立；只有全为零的相关系统使等式成立。

2 一些结论

① 若向量组中两个向量的分量对应成比例，则向量组必线性相关。
例如： − 1 × ( 1 2 ) + 1 2 × ( 2 4 ) + 0 × ( 5 19 ) + 0 × ( − 1 99 ) = O -1\times\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\times\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}+0\times\begin{pmatrix}5\\19\end{pmatrix}+0\times\begin{pmatrix}-1\\99\end{pmatrix}=O −1×(12)+21×(24)+0×(519)+0×(−199)=O

② 含有零向量的任意向量组必线性相关。
例如： 0 α 1 + 0 α 2 + 0 α 3 + 1 × O = O 0\alpha_1+0\alpha_2+0\alpha_3+1\times{O}=O 0α1+0α2+0α3+1×O=O

③ 特别地：一个零向量必线性相关。
例如： 1 × O = O 1\times{O}=O 1×O=O

④ 任意一个非零向量必线性无关。
假设非零向量 α ≠ 0 \alpha{\neq}0 α=0，要证其线性相关，那么 k α = 0 k\alpha=0 kα=0，所以 k = 0 k=0 k=0（详见线性代数学习笔记（二十）——向量的定义例3.1.1），这与线性相关定义矛盾，故任意一个非零向量必线性无关。

⑤ 由一个向量 α \alpha α构成的向量组线性相关 ⟺ α = 0 {\Longleftrightarrow}\alpha=0 ⟺α=0。

3 部分与整体向量组的线性关系

★★ 例8：若向量组 α 1 , α 2 , . . . α r \alpha_1,\alpha_2,...\alpha_r α1,α2,...αr线性相关，那么向量组 α 1 , α 2 , . . . α r , α r + 1 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...\alpha_r\color{red}{,\alpha_{r+1},...,\alpha_s} α1,α2,...αr,αr+1,...,αs也线性相关。

例如，若向量组 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1,α2,α3线性相关，那么向量组 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\color{red}{,\alpha_4,\alpha_5} α1,α2,α3,α4,α5也线性相关。
证明：因为向量组 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1,α2,α3线性相关，所以存在不全为0的数 k 1 , k 2 , k 3 k_1,k_2,k_3 k1,k2,k3，
使得： k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0 k1α1+k2α2+k3α3=0，
所以： k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 + 0 α 4 + 0 α 5 = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+\color{red}{0\alpha_4+0\alpha_5}\color{black}{=0} k1α1+k2α2+k3α3+0α4+0α5=0，
相关系数 k 1 , k 2 , k 3 , 0 , 0 k_1,k_2,k_3,0,0 k1,k2,k3,0,0不全为0，故向量组 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5 α1,α2,α3,α4,α5也线性相关。

可推出以下命题：
部分组线性相关，则整体组也线性相关 \color{red}{部分组线性相关，则整体组也线性相关} 部分组线性相关，则整体组也线性相关。

其逆否命题：
整体组线性无关，则部分组也线性无关 \color{red}{整体组线性无关，则部分组也线性无关} 整体组线性无关，则部分组也线性无关。

4 接长与截短向量组的线性关系

★★ 例9：若向量组
α 1 = ( a 11 , a 12 , . . . , a 1 r ) \alpha_1=(a_{11},a_{12},...,a_{1r}) α1=(a11,a12,...,a1r)
α 2 = ( a 21 , a 22 , . . . , a 2 r ) \alpha_2=(a_{21},a_{22},...,a_{2r}) α2=(a21,a22,...,a2r)
⋮ \vdots ⋮
α m = ( a m 1 , a m 2 , . . . , a m r ) \alpha_m=(a_{m1},a_{m2},...,a_{mr}) αm=(am1,am2,...,amr)
线性无关，则向量组
γ 1 = ( a 11 , a 12 , . . . , a 1 r , a 1 , r + 1 , . . . , a 1 n ) \gamma_1=(a_{11},a_{12},...,a_{1r}\color{red}{,a_{1,r+1},...,a_{1n}}\color{black}{)} γ1=(a11,a12,...,a1r,a1,r+1,...,a1n)
γ 2 = ( a 21 , a 22 , . . . , a 2 r , a 2 , r + 1 , . . . , a 2 n ) \gamma_2=(a_{21},a_{22},...,a_{2r}\color{red}{,a_{2,r+1},...,a_{2n}}\color{black}{)} γ2=(a21,a22,...,a2r,a2,r+1,...,a2n)
⋮ \vdots ⋮
γ m = ( a m 1 , a m 2 , . . . , a m r , a m , r + 1 , . . . , a m n ) \gamma_m=(a_{m1},a_{m2},...,a_{mr}\color{red}{,a_{m,r+1},...,a_{mn}}\color{black}{)} γm=(am1,am2,...,amr,am,r+1,...,amn)
也线性无关。

例如，若 α 1 = ( 1 , 3 , 5 ) \alpha_1=(1,3,5) α1=(1,3,5)
α 2 = ( 6 , − 1 , 8 ) \alpha_2=(6,-1,8) α2=(6,−1,8)
α 3 = ( − 3 , 3 , 9 ) \alpha_3=(-3,3,9) α3=(−3,3,9)
线性无关，证明
γ 1 = ( 1 , 3 , 5 , 1 , 6 ) \gamma_1=(1,3,5\color{red}{,1,6}\color{black}{)} γ1=(1,3,5,1,6)
γ 2 = ( 6 , − 1 , 8 , 3 , 3 ) \gamma_2=(6,-1,8\color{red}{,3,3}\color{black}{)} γ2=(6,−1,8,3,3)
γ 3 = ( − 3 , 3 , 9 , 10 , 8 ) \gamma_3=(-3,3,9\color{red}{,10,8}\color{black}{)} γ3=(−3,3,9,10,8)
也线性无关。

证明：假设 k 1 γ 1 + k 2 γ 2 + k 3 γ 3 = O k_1\gamma_1+k_2\gamma_2+k_3\gamma_3=O k1γ1+k2γ2+k3γ3=O，
所以： { k 1 + 6 k 2 − 3 k 3 = 0 3 k 1 − k 2 + 3 k 3 = 0 5 k 1 + 8 k 2 + 9 k 3 = 0 k 1 + 3 k 2 + 10 k 3 = 0 6 k 1 + 3 k 2 + 8 k 3 = 0 \begin{cases} k_1+6k_2-3k_3=0\\ 3k_1-k_2+3k_3=0\\ 5k_1+8k_2+9k_3=0\\ k_1+3k_2+10k_3=0\\ 6k_1+3k_2+8k_3=0 \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧k1+6k2−3k3=03k1−k2+3k3=05k1+8k2+9k3=0k1+3k2+10k3=06k1+3k2+8k3=0
通过观察前三项
{ k 1 + 6 k 2 − 3 k 3 = 0 3 k 1 − k 2 + 3 k 3 = 0 5 k 1 + 8 k 2 + 9 k 3 = 0 \begin{cases} k_1+6k_2-3k_3=0\\ 3k_1-k_2+3k_3=0\\ 5k_1+8k_2+9k_3=0 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧k1+6k2−3k3=03k1−k2+3k3=05k1+8k2+9k3=0
可以看出： k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 = O k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=O k1α1+k2α2+k3α3=O，
又因为向量组 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1,α2,α3线性无关，
所以 k 1 , k 2 , k 3 k_1,k_2,k_3 k1,k2,k3必全为0，
故向量组 γ 1 , γ 2 , γ 3 \gamma_1,\gamma_2,\gamma_3 γ1,γ2,γ3也线性无关。

可推出以下命题：
线性无关的向量组，接长向量组也线性无关 \color{red}{线性无关的向量组，接长向量组也线性无关} 线性无关的向量组，接长向量组也线性无关。

其逆否命题：
线性相关的向量组，截短向量组也线性相关 \color{red}{线性相关的向量组，截短向量组也线性相关} 线性相关的向量组，截短向量组也线性相关。

5 行列式值与向量组的线性关系

★★ 例10：如果 n n n个 n n n维向量（向量的个数等于向量的维数才适用）
α 1 = ( a 11 , a 12 , . . . , a 1 n ) \alpha_1=(a_{11},a_{12},...,a_{1n}) α1=(a11,a12,...,a1n)
α 2 = ( a 21 , a 22 , . . . , a 2 n ) \alpha_2=(a_{21},a_{22},...,a_{2n}) α2=(a21,a22,...,a2n)
⋮ \vdots ⋮
α n = ( a n 1 , a n 2 , . . . , a n n ) \alpha_n=(a_{n1},a_{n2},...,a_{nn}) αn=(an1,an2,...,ann)
构成的行列式
D = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ ≠ 0 D=\begin{vmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{nn}}\\ \end{vmatrix}{\neq}0 D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=0，
那么， α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn线性无关。

证明：设存在数 k 1 , k 2 , . . . , k n k_1,k_2,...,k_n k1,k2,...,kn使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k n α n = O k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_n\alpha_n=O k1α1+k2α2+...+knαn=O，即
{ a 11 k 1 + a 21 k 2 + . . . + a n 1 k n = 0 a 12 k 1 + a 22 k 2 + . . . + a n 2 k n = 0 ⋮ a 1 n k 1 + a 2 n k 2 + . . . + a n n k n = 0 \begin{cases} a_{11}k_1+a_{21}k_2+...+a_{n1}k_n=0\\ a_{12}k_1+a_{22}k_2+...+a_{n2}k_n=0\\ \vdots\\ a_{1n}k_1+a_{2n}k_2+...+a_{nn}k_n=0 \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧a11k1+a21k2+...+an1kn=0a12k1+a22k2+...+an2kn=0⋮a1nk1+a2nk2+...+annkn=0
由于该齐次线性方程组的系数行列式 D T = D ≠ 0 D^T=D{\neq}0 DT=D=0，
由线性代数学习笔记（七）——克莱姆法则定理 1.5.2可知，
该齐次线性方程组仅有零解，
即 k 1 = k 2 = . . . = k n = 0 k_1=k_2=...=k_n=0 k1=k2=...=kn=0，
故，向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn线性无关。

可推出以下命题：
D ≠ 0 ⟺ 线性无关 \color{red}{D{\neq}0{\Longleftrightarrow}线性无关} D=0⟺线性无关。

其逆否命题：
D = 0 ⟺ 线性相关 \color{red}{D=0{\Longleftrightarrow}线性相关} D=0⟺线性相关。

举例：判断向量 ( 1 , 0 , 3 ) (1,0,3) (1,0,3)、 ( 2 , 1 , 1 ) (2,1,1) (2,1,1)和 ( 1 , 1 , 0 ) (1,1,0) (1,1,0)是线性相关还是线性无关。
首先判断向量的个数等于向量的维数，即3个3维向量适用上述结论。
然后求行列式的值，即
∣ 1 0 3 2 1 1 1 1 0 ∣ \begin{vmatrix} 1&0&3\\ 2&1&1\\ 1&1&0 \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣121011310∣∣∣∣∣∣
若行列式值为0，则线性相关，反之，则线性无关。

6 单位向量组的线性关系

例11： n n n维单位向量组线性无关。
证明：因为 n n n维单位向量组
ε 1 = ( 1 , 0 , . . . , 0 ) \varepsilon_1=(1,0,...,0) ε1=(1,0,...,0)，
ε 2 = ( 0 , 1 , . . . , 0 ) \varepsilon_2=(0,1,...,0) ε2=(0,1,...,0)，
⋮ \vdots ⋮
ε n = ( 0 , 0 , . . . , 1 ) \varepsilon_n=(0,0,...,1) εn=(0,0,...,1)
构成的行列式
D = ∣ 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ∣ = 1 ≠ 0 D=\begin{vmatrix} 1&0&{\cdots}&0\\ 0&1&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&1\\ \end{vmatrix}=1{\neq}0 D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣10⋮001⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮1∣∣∣∣∣∣∣∣∣=1=0，
由例10的结论可知，向量组 ε 1 , ε 2 , . . . , ε n \varepsilon_1,\varepsilon_2,...,\varepsilon_n ε1,ε2,...,εn线性无关。

7 方程组解与向量组的线性关系

例12：判断向量 α 1 = ( 1 , 0 , − 1 ) \alpha_1=(1,0,-1) α1=(1,0,−1)、 α 2 = ( − 1 , − 1 , 2 ) \alpha_2=(-1,-1,2) α2=(−1,−1,2)和 α 3 = ( 2 , 3 , − 5 ) \alpha_3=(2,3,-5) α3=(2,3,−5)是线性相关还是线性无关。如果线性相关，求一组相关系数。
分析：本题可以用上述例10的结论，以下按照传统方式计算。
解：第一步：设相关系数，
设数 k 1 , k 2 , k 3 k_1,k_2,k_3 k1,k2,k3，使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 = O k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=O k1α1+k2α2+k3α3=O，

第二步：将向量代入，
k 1 ( 1 , 0 , − 1 ) + k 2 ( − 1 , − 1 , 2 ) + k 3 ( 2 , 3 , − 5 ) = O k_1(1,0,-1)+k_2(-1,-1,2)+k_3(2,3,-5)=O k1(1,0,−1)+k2(−1,−1,2)+k3(2,3,−5)=O，

第三步：联立方程组，
{ k 1 − k 2 + 2 k 3 = 0 − k 2 + 3 k 3 = 0 − k 1 + 2 k 2 − 5 k 3 = 0 \begin{cases} k_1&-&k_2&+&2k_3&=&0\\ &&-k_2&+&3k_3&=&0\\ -k_1&+&2k_2&-&5k_3&=&0 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧k1−k1−+k2−k22k2++−2k33k35k3===000

第四步：解方程组，
{ k 1 = k 3 k 2 = 3 k 3 \begin{cases} k_1=k_3\\ k_2=3k_3 \end{cases} {k1=k3k2=3k3

令 k 3 = 1 k_3=1 k3=1，则 k 1 = 1 k_1=1 k1=1， k 2 = 3 k_2=3 k2=3，

第五步：判断相关性，
所以存在一组不全为0的数 1 , 3 , 1 1,3,1 1,3,1，使得 α 1 + 3 α 2 + α 3 = O \alpha_1+3\alpha_2+\alpha_3=O α1+3α2+α3=O，
故向量组 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1,α2,α3线性相关，一组相关系数为 1 , 3 , 1 1,3,1 1,3,1。

能否令 k 3 = 0 k_3=0 k3=0呢？
答案是不能。
若令 k 3 = 0 k_3=0 k3=0，则 k 1 = 0 k_1=0 k1=0， k 2 = 0 k_2=0 k2=0，

是否说明向量组 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1,α2,α3线性无关呢？
答案也是不能。
线性相关和线性无关的本质是：能否找到一组非零的数使等式成立。

通过观察上述向量和方程组不难看出：原来的每个向量的分量，直接写成方程组的系数，不管是行向量还是列向量，都按列写成方程组的系数。

可推出以下命题：
方程组有非零解 ⟺ 线性相关 \color{red}{方程组有非零解{\Longleftrightarrow}线性相关} 方程组有非零解⟺线性相关。

其逆否命题：
方程组只有零解 ⟺ 线性无关 \color{red}{方程组只有零解{\Longleftrightarrow}线性无关} 方程组只有零解⟺线性无关。

回顾：
线性组合 ⟺ 方程组有解 \color{red}{线性组合{\Longleftrightarrow}方程组有解} 线性组合⟺方程组有解。
只要有解就行，具体是零解还是非零解无所谓！

★★ 例13：若向量组 α , β , γ \alpha,\beta,\gamma α,β,γ线性无关，则向量组 α + β , β + γ , γ + α \alpha+\beta,\beta+\gamma,\gamma+\alpha α+β,β+γ,γ+α也线性无关。
证明：设有数 k 1 , k 2 , k 3 k_1,k_2,k_3 k1,k2,k3，使得 k 1 ( α + β ) + k 2 ( β + γ ) + k 3 ( γ + α ) = O k_1(\alpha+\beta)+k_2(\beta+\gamma)+k_3(\gamma+\alpha)=O k1(α+β)+k2(β+γ)+k3(γ+α)=O，
即： ( k 1 + k 3 ) α + ( k 1 + k 2 ) β + ( k 2 + k 3 ) γ = O (k_1+k_3)\alpha+(k_1+k_2)\beta+(k_2+k_3)\gamma=O (k1+k3)α+(k1+k2)β+(k2+k3)γ=O，
因为向量组 α , β , γ \alpha,\beta,\gamma α,β,γ线性无关，故
{ k 1 + k 3 = 0 k 1 + k 2 = 0 k 2 + k 3 = 0 \begin{cases} k_1&&&+&k_3&=&0\\ k_1&+&k_2&&&=&0\\ &&k_2&+&k_3&=&0 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧k1k1+k2k2++k3k3===000
由此解得 k 1 = k 2 = k 3 = 0 k_1=k_2=k_3=0 k1=k2=k3=0，
所以向量组 α + β , β + γ , γ + α \alpha+\beta,\beta+\gamma,\gamma+\alpha α+β,β+γ,γ+α线性无关。

8 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ干杯~-bilibili_3.2 向量间的线性关系（二）