AVL树简介

AVL树实际上一个引入了平衡因子的二叉搜索树，该平衡因子保证了每个节点的左右子树高度之差的绝对值不超过1，这样就可以降低树的高度，减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
1.它的左右子树都是AVL树
2.左右子树高度之差（平衡因子）的绝对值不超过1（-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，他就是AVL树，如果它有n个结点，那么它的高度就是log2n,搜索时间复杂度O(log2n).

AVL树的插入

1.按照二叉搜索树的方式插入新节点
2.调整节点的平衡因子

pCur插入后，pParent的平衡因子需要调整，插入之前，pParent的平衡因子分为三种情况-1 0 1
1.如果pCur插入到pParent的左侧，只需要给pParent的平衡因子-1
2.如果pCur插入到pParent的右侧，只需要给pParent的平衡因子+1

插入后的平衡因子会有下面三种情况 0 正负1 正负2
1.如果平衡因子为0，说明插入前平衡因子为正负1，插入后满足性质
2.如果平衡因子为正负，说明插入前平衡因子为0，插入后以pParent为根的高度增加，需要继续向上更新
3.如果平衡因子为正负2，违反了AVL树的性质，需要进行旋转处理

AVL树的旋转

当插入节点后造成了不平衡也就是平衡因子为正负2，此时就需要进行旋转。
旋转分为4种情况：

1.新节点插入较高左子树的左侧 --左左：右单旋

2.新节点插入较高右子树的右侧 --右右：左单旋
参考第一种情况

3.新节点插入较高左子树的右侧 --左右：先左单旋再右单旋

4.新节点插入较高右子树的左侧 --右左：先右单旋再左单旋
参考第三种情况图形

AVL树的验证

1.验证为二叉搜索树
看中序遍历可以得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
2.验证为平衡树
（1）每个节点子树高度差的绝对值不超过1（这是没有引入平衡因子）
（2）节点的平衡因子是否正确

AVL树代码

AVLTree.h

#pragma once#include<iostream>
#include<assert.h>
#include<algorithm>
#include<time.h>using namespace std;template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;int _bf;  // balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _bf(0){}
};template<class K, class V>
struct AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;// 控制平衡// 1、更新平衡因子while (parent){if (cur == parent->_right){parent->_bf++;}else{parent->_bf--;}if (parent->_bf == 0){break;}else if (abs(parent->_bf) == 1){parent = parent->_parent;cur = cur->_parent;}else if (abs(parent->_bf) == 2){// 说明parent所在子树已经不平衡了，需要旋转处理if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if ((parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else{assert(false);}break;}else{assert(false);}}return true;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}bool IsBalance(){return _IsBalance(_root);}
private:bool _IsBalance(Node* root){if (root == nullptr){return true;}int leftHT = Height(root->_left);int rightHT = Height(root->_right);int diff = rightHT - leftHT;if (diff != root->_bf){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}return abs(diff) < 2&& _IsBalance(root->_left)&& _IsBalance(root->_right);}int Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;return max(Height(root->_left), Height(root->_right)) + 1;}void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;Node* ppNode = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (_root == parent){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subR;}else{ppNode->_right = subR;}subR->_parent = ppNode;}subR->_bf = parent->_bf = 0;}void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR){subLR->_parent = parent;}Node* ppNode = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (_root == parent){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subL;}else{ppNode->_right = subL;}subL->_parent = ppNode;}subL->_bf = parent->_bf = 0;}void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);subLR->_bf = 0;if (bf == 1){parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else if (bf == -1){// 错的/*parent->_bf = 0;subL->_bf = 1;*/parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else{assert(false);}}void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);subRL->_bf = 0;if (bf == 1){subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else{assert(false);}}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_InOrder(root->_right);}
private:Node* _root = nullptr;
};

test.cpp

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#include"AVLTree.h"void TestAVLTree1()
{int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };  // 测试双旋平衡因子调节//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };AVLTree<int, int> t1;for (auto e : a){t1.Insert(make_pair(e, e));}t1.InOrder();cout << "IsBalance:" << t1.IsBalance() << endl;}//验证AVLTree
void TestAVLTree2()
{size_t N = 10000;srand(time(0));AVLTree<int, int> t1;for (size_t i = 0; i < N; ++i){int x = rand();t1.Insert(make_pair(x, i));/* bool ret = t1.IsBalance();if (ret == false){int u = 1;}else{cout << "Insert:" << x << " IsBalance:" <<ret<< endl;}*/}cout << "IsBalance:" << t1.IsBalance() << endl;
}int main()
{//TestAVLTree1();TestAVLTree2();return 0;
}

这就是AVL树的一些介绍，但并没有写上AVL树的删除是因为AVL树删除一个结点将要更新平衡因子到根节点，效率不高，不常见。

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，它的每个结点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这就保证了它的时间复杂度时log(N)。
但是对AVL树的结构修改效率不高，因为要保证平衡而进行旋转。

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