二叉堆详解实现优先级队列
二叉堆详解实现优先级队列
文章目录
- 二叉堆详解实现优先级队列
- 一、二叉堆概览
- 二、优先级队列概览
- 三、实现 swim 和 sink
- 四、实现 delMax 和 insert
- 五、最后总结
二叉堆(Binary Heap)没什么神秘,性质比二叉搜索树 BST 还简单。其主要操作就两个,sink(下沉)和 swim(上浮),用以维护二叉堆的性质。其主要应用有两个,首先是一种排序方法「堆排序」,第二是一种很有用的数据结构「优先级队列」。
一、二叉堆概览
- 首先,二叉堆和二叉树有啥关系呢,为什么人们总数把二叉堆画成一棵二叉树?
因为,二叉堆其实就是一种特殊的二叉树(完全二叉树),只不过存储在数组里。一般的链表二叉树,我们操作节点的指针,而在数组里,我们把数组索引作为指针:
// 父节点的索引
int parent(int root) {return root / 2;
}
// 左孩子的索引
int left(int root) {return root * 2;
}
// 右孩子的索引
int right(int root) {return root * 2 + 1;
}
画个图你立即就能理解了,注意数组的第一个索引 0 空着不用,
PS:因为数组索引是数组,为了方便区分,将字符作为数组元素。
- 你看到了,把 arr[1]作为整棵树的根的话,每个节点的父节点和左右孩子的索引都可以通过简单的运算得到,这就是二叉堆设计的一个巧妙之处。
- 为了方便讲解,下面都会画的图都是二叉树结构,相信你能把树和数组对应起来。
- 二叉堆还分为最大堆和最小堆。
最大堆的性质是:每个节点都大于等于它的两个子节点。类似的,最小堆的性质是:每个节点都小于等于它的子节点
。 - 两种堆核心思路都是一样的,本文以最大堆为例讲解。
- 对于一个最大堆,根据其性质,显然
堆顶,也就是 arr[1] 一定是所有元素中最大的元素
。
二、优先级队列概览
- 优先级队列这种数据结构有一个很有用的功能,
你插入或者删除元素的时候,元素会自动调整
,这底层的原理就是二叉堆的操作。 - 数据结构的功能无非增删查该,优先级队列有两个主要 API,
分别是 insert 插入一个元素和 delMax 删除最大元素(如果底层用最小堆,那么就是 delMin)
。 - 下面我们实现一个简化的优先级队列,先看下代码框架:
public class MaxPQ<Key extends Comparable<Key>> {// 存储元素的数组private Key[] pq;// 当前 Priority Queue 中的元素个数private int N = 0;public MaxPQ(int cap) {// 索引 0 不用,所以多分配一个空间pq = (Key[]) new Comparable[cap + 1];}/* 返回当前队列中最大元素 */public Key max() {return pq[1];}/* 插入元素 e */public void insert(Key e) {...}/* 删除并返回当前队列中最大元素 */public Key delMax() {...}/* 上浮第 k 个元素,以维护最大堆性质 */private void swim(int k) {...}/* 下沉第 k 个元素,以维护最大堆性质 */private void sink(int k) {...}/* 交换数组的两个元素 */private void exch(int i, int j) {Key temp = pq[i];pq[i] = pq[j];pq[j] = temp;}/* pq[i] 是否比 pq[j] 小? */private boolean less(int i, int j) {return pq[i].compareTo(pq[j]) < 0;}/* 还有 left, right, parent 三个方法 */
}
三、实现 swim 和 sink
- 为什么要有上浮 swim 和下沉 sink 的操作呢?为了
维护堆结构
。 - 我们要讲的是最大堆,每个节点都比它的两个子节点大,但是
在插入元素和删除元素时,难免破坏堆的性质,这就需要通过这两个操作来恢复堆的性质
了。 - 对于最大堆,会破坏堆性质的有有两种情况:
- 如果某个节点 A 比它的子节点(中的一个)小,那么 A 就不配做父节点,应该下去,下面那个更大的节点上来做父节点,这就是对 A 进行下沉。
- 如果某个节点 A 比它的父节点大,那么 A 不应该做子节点,应该把父节点换下来,自己去做父节点,这就是对 A 的上浮。
- 当然,错位的节点 A 可能要上浮(或下沉)很多次,才能到达正确的位置,恢复堆的性质。所以代码中肯定有一个 while 循环。
- 细心的读者也许会问,这两个操作不是互逆吗,所以上浮的操作一定能用下沉来完成,为什么我还要费劲写两个方法?
- 是的,操作是互逆等价的,但是最终我们的操作只会在堆底和堆顶进行(等会讲原因),显然堆底的「错位」元素需要上浮,堆顶的「错位」元素需要下沉。
- 上浮的代码实现:
private void swim(int k) {// 如果浮到堆顶,就不能再上浮了while (k > 1 && less(parent(k), k)) {// 如果第 k 个元素比上层大// 将 k 换上去exch(parent(k), k);k = parent(k);}
}
- 下沉的代码实现:
- 下沉比上浮略微复杂一点,因为
上浮某个节点 A,只需要 A 和其父节点比较大小即可;但是下沉某个节点 A,需要 A 和其两个子节点比较大小,如果 A 不是最大的就需要调整位置,要把较大的那个子节点和 A 交换
。
private void sink(int k) {// 如果沉到堆底,就沉不下去了while (left(k) <= N) {// 先假设左边节点较大int older = left(k);// 如果右边节点存在,比一下大小if (right(k) <= N && less(older, right(k)))older = right(k);// 结点 k 比俩孩子都大,就不必下沉了if (less(older, k)) break;// 否则,不符合最大堆的结构,下沉 k 结点exch(k, older);k = older;}
}
至此,二叉堆的主要操作就讲完了,一点都不难吧,代码加起来也就十行。明白了 sink 和 swim 的行为,下面就可以实现优先级队列了
四、实现 delMax 和 insert
- 这两个方法就是建立在 swim 和 sink 上的。
- insert 方法先把要插入的元素添加到堆底的最后,然后让其上浮到正确位置
public void insert(Key e) {N++;// 先把新元素加到最后pq[N] = e;// 然后让它上浮到正确的位置swim(N);
}
- delMax 方法先把堆顶元素 A 和堆底最后的元素 B 对调,然后删除 A,最后让 B 下沉到正确位置。
public Key delMax() {// 最大堆的堆顶就是最大元素Key max = pq[1];// 把这个最大元素换到最后,删除之exch(1, N);pq[N] = null;N--;// 让 pq[1] 下沉到正确位置sink(1);return max;
}
- 至此,一个优先级队列就实现了,
插入和删除元素的时间复杂度为O(logK),K为当前二叉堆(优先级队列)中的元素总数
。因为我们时间复杂度主要花费在 sink 或者 swim上,而不管上浮还是下沉,最多也就树(堆)的高度,也就是 log 级别。
五、最后总结
二叉堆就是一种完全二叉树,所以适合存储在数组中
,而且二叉堆拥有一些特殊性质。- 二叉堆的操作很简单,主要就是
上浮和下沉,来维护堆的性质(堆有序
),核心代码也就十行。 - 优先级队列是基于二叉堆实现的,主要操作是插入和删除。
插入是先插到最后,然后上浮到正确位置;删除是调换位置后再删除,然后下沉到正确位置
。核心代码也就十行。 - 也许这就是数据结构的威力,简单的操作就能实现巧妙的功能,真心佩服发明二叉堆算法的人!
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