二叉搜索树详解--实现插入和删除

BST树概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
它的左右子树也分别为二叉搜索树

BST树操作

BST树的查找

可以看到每步查找都能筛掉一般不符合的元素，有点类似于数组中的二分查找;

这也是二叉搜索树名字的由来，他的查找效率很高;

注意，不难发现，中序遍历BST树，就是一个升序的结构!;

BST树的插入

插入的具体过程如下:

按照二叉搜索树的性质，找到某个val合适的插入点;

BST树的删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回,

否则要删除的结点可能分下面四种情况：

要删除的结点无孩子结点 -->直接删除
要删除的结点只有左孩子 -->左孩子直接与他的父亲连接(左or右)，然后删掉它
要删除的结点只有右孩子 -->右孩子直接与他的父亲连接(左or右)，然后删掉它
要删除的结点左右孩子都有;–>去它的右子树找最左节点，替换它的位置用替代法删除结点!

实现一个自己的BST树

由于一般具有k-v结构的数据结构底层是BST树，那么我们这里也实现一个K-V结构的BST树;

K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：

以单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树,

在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。

KV模型：每一个关键码key，**都有与之对应的值Value，**即的键值对。该种方式在现实生活中非常常见：

比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文就构成一种键值对；

再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是就构成一种键值对。

<单词，中文含义>为键值对构造二叉搜索树，注意：二叉搜索树需要比较，键值对比较时只比较Key

查询英文单词时，只需给出英文单词，就可快速找到与其对应的key

BSTNode类和BSTree类

基本框架:

template<class K,class V>
struct BSTNode {BSTNode(const K& key = K(), const V& value = V()): _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _key(key), _Value(value){}BSTNode<T>* _pLeft;BSTNode<T>* _pRight;K _key;V _value
};
template<class K, class V>
class BSTree {typedef BSTNode<K, V> Node;
private:Node* _root;
}

查找操作;

 Node* Find(const K& key) {//根据BST树的特性来find;if (_root == nullptr) return nullptr;Node* cur = _root;//原则上来说 是没有重复key存在的while (cur) {if (key > cur->_key) {cur = cur->_pRight;}else if (key < cur->_key) {cur = cur->_pLeft;}else return cur;}return nullptr;}

插入操作:

 bool Insert(const K& key, const V& value){if (_root == nullptr) {_root = new Node({ key,value });return true;}Node* cur = _root;Node* prev = _root;//原则上来说 是没有重复key存在的while (cur) {if (key > cur->_key) {prev = cur;cur = cur->_pRight;}else if (key < cur->_key) {prev = cur;cur = cur->_pLeft;}else return false; //数据冗余,不插入;map，set的普通版本不允许key重复！}Node* newnode = new Node({ key,value });if (prev->_key < key) {prev->_pRight = newnode;}else {prev->_pLeft = newnode;}return true;}

删除操作:


bool Erase(const K& key)
{Node* cur = _root;Node* father = nullptr;while (cur) {if (key > cur->_key) {father = cur;cur = cur->_pRight;}else if (key < cur->_key) {father = cur;cur = cur->_pLeft;}else break;}if (!cur) return false;//处理下特殊情况:需要删root节点if (father == nullptr) {Node* tmp = _root;if (father->_pRight) {_root = father->_pRight;}else if (father->_pLeft) {_root = father->_pLeft;}delete tmp;return true;}//1,无孩子节点,直接删;if (!cur->_pLeft && !cur->_pRight) {if (father->_pLeft == cur){father->_pLeft = nullptr;}else father->_pRight = nullptr;}//2,有左孩子or右孩子;else if ((!cur->_pLeft && cur->_pRight) || (cur->_pLeft && !cur->_pRight)) {if (father->_pLeft == cur) {//cur是father的左  if (cur->_pLeft) father->_pLeft = cur->_pLeft;else father->_pLeft = cur->_pRight;}else {//cur是father的右if (cur->_pLeft) father->_pRight = cur->_pLeft;else  father->_pRight = cur->_pRight;}}else {//3.左右都有孩子;//替代法，找右子树最左节点替换他; 及的保存parent 替换的时候树得调整Node* p_replace = cur;Node* replace = cur->right;while (replace->_pLeft) {p_replace = replace;replace = replace->_pLeft;
;       }//swap(cur, rmin);//别乱用swap 会出错;if (father->_pLeft == cur) { //注意 这个father是cur的fatherfather->_pLeft = replace;}else {father->_pRight = replace;}cur->_val = replace->_val;//交换要删除节点的值与替代节点的值，之后把replace删了 删的时候替换的时候树得调整if (p_replace->_pLeft == replace) {p_replace->_pLeft = replace->_pLeft;}else {p_replace->_pRight = replace->_pRight;}cur = replace;//改变最后删的对象}delete cur;cur = nullptr;return true;
}

应用：

//统计词语出现的次数
string strs[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "樱桃", "苹果", "樱桃", "苹果", "樱桃", "苹果" };// 统计水果出现的次BSTree<string, int> countTree;for (auto str : strs){auto ret = countTree.Find(str);if (ret == NULL){countTree.Insert(str, 1);}else{ret->_value++;}}countTree.InOrder();

二叉搜索树性能分析

插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。

对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多

但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树，其平均比较次数为:log2N

最差情况下，二叉搜索树退化为单支树，其平均比较次数为：N/2

问题：如果退化成单支树，二叉搜索树的性能就失去了。那能否进行改进，不论按照什么次序插入关键码，都可以是二叉搜索树的性能最佳？

AVL树！后面文章接着写

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