零、说明

并未深涉，同时作者的理解在写作过程中发生了巨大变化，有些证明和解释又是书上没有的，对Principia Mathematica（《数学原理》）的选译也是摸着石头过河（这是因为这本书貌似没有中译本），故必有疏漏，恳请指出。由于是为数学学习准备的基础数理逻辑，故理论上本文本身并不涉及太多通常意义上的数学知识，而是侧重于呈现一个相对严谨的常用逻辑演算的框架。本文的写作将用粗体标出概念、固有名词，并尽量使后出现的概念由先出现的概念给出，或让对新概念的解释紧跟该概念以基本做到自足（self-contained）。另外，引入类是为了叙述方便，实际上是不需要的。我所考虑过的一些容易混淆的地方被注释在了文末参考里，例子、解释、证明和对Principia Mathematica的部分翻译被放在引用块中，但它们都可以被跳过以追随主线，虽然并不建议。最后，不要在Microsoft Edge上编辑知乎文章，电脑不行的话也不要在知乎上写文章。

对于阅读数学的建议是，所有的定义中的名称无非只有几个作用，在我看来一是为了使相应数学概念契合直觉以帮助理解，比如称集合为“集合”显然比称集合为“豕”更容易使人理解；二是为了打包概念以方便后文引用，并在一定程度上引导研究方向，比如在“并的补等于补的交（棣莫弗）”中若未定义并、补、交而只用集合、属于、等于这三个基础定义叙述就会显得无比冗长，因而并补交的定义也从某种意义上引导了这个定理的产生；三是方便数学家间使用共同的语言交流。所以阅读数学切勿流连于、拘泥于各种定义的名称而要理解其实质，甚至为了自己理解方便改变其名称也未尝不可；而这里的实质，依传统，则是指定义间的关系。另一方面，要有掌握主线的能力，即能分辨出哪些定义可以引导研究方向，哪些只是为了叙述方便，进而对后者一掠而过。

一、预备

形式化方法是这样一种方法，它完全撇开符号本身的自然意义而只用一些同样不含自然意义的规则操作它们。例如，虽然我们可以认为1是用来计量单个物品的数字，但在形式化方法中我们大可不必理会这一层意义，而只认为1是满足一些算术性质的符号。逻辑演算则是基于形式化方法所构造出的一种关于前提和结论之间关系的系统，他不关注对象具体是什么，进而使得它的研究成果可以普适于任何赋予对象具体含义的数学领域。

另外为了便于叙述，我们还会用到（比集更广泛的）类（class）的概念：对于任何元素x，我们可以判断x是否属于类A。类A和B间的二元关系指A和B的笛卡尔积

二、逻辑演算的基本要素

一个逻辑演算的自然推理系统^[1][2]由符号，形成规则，推理规则构成。符号是逻辑演算中最小的构成元素，因此对于每个逻辑演算都有一个相应的符号库包含所有该逻辑演算会用到的符号（就好像英语的符号库是26个字母加上标点），而一般上我们使用带上下标的英文大小写字母加上其他的一些传统上的逻辑专有符号作为我们的符号库：

公式（用

形成规则规定公式类（即所有公式构成的类，以后同理）中哪些是合法的，并称那些符合形成规则的公式为合式公式（用

合式公式有穷序列 （用

推理规则^[3]确定一个合式公式有穷序列类和合式公式类间的二元关系“

推理关系，并且当

推出

逻辑演算是为了能在不同数学领域中使用同一套逻辑规范地证明而构建的，这些具体应用逻辑演算的数学领域称为论域，其中的研究对象称为个体（例如集合是论域集合论的个体，直线是论域几何学中的个体，但他们可以通用一套证明的逻辑）。因而，在构建逻辑演算本身时，我们不考虑个体具体是什么、属于哪个论域，而用个体词来表示任意个体，因而个体词又称个体变元（可以被代入任意逻辑以外论域中的任意个体）。正如自然语言里谓语是句子中描述主语性质的部分，谓词（以

谓语变元，当谓词的含义被明确时谓词被称为谓语常元（如当规定P代表“...是质数”时，P就是谓语常元）。特别地，当所描述的个体词个数n=0，即不描述个体词时，谓语变元称为命题变元（以

命题常元。函数词（以

函数变元和函数常元。个体变元分为自由变元（用

约束变元（用

约束变元当且仅当该个体变元x接在量词符号

量词

逻辑词

^[4]

三、命题演算（又称命题逻辑）

有了上述概念的铺垫，我们就可以开始构建逻辑演算了。最基础的逻辑演算是命题演算，又称零阶逻辑，我们在此依次介绍一个命题演算实例

^[5]的符号，形成规则和推理规则。顾名思义，符号上，命题逻辑只使用命题变元，逻辑词（P只使用

　　1.单独一个命题词是合式公式
　　2.如果

　　3.如果

因此可以从1.与命题词（此时称为原子公式）出发，依2.3.归纳地判断所给公式是否为合式公式。另一方面可以发现，构成任意合式公式

^[6]。

例子：

是命题词，所以

是合式公式，所以

也是合式公式。

推理规则上，令

任意合式公式有穷序列，

任意合式公式，规定简写①

^[7]：

　　i.

　　ii.

　　iii.

形式前提，

形式结论）

　　iv.（Modus Ponens或

　　v.

根据逻辑演算所使用的变元种类我们有相应的替换规则来规定如何替换推理规则中出现的变元是合法的。对于命题演算而言，以替换A为例，可以看出只要用任意合式公式同时替换掉同一条推理规则内的所有A，这种替换就是合法的，替换后的推理规则也就继续有效。上述的5条推理规则中，i.iv.直接给出推理关系^[8]，称为一类推理规则；ii.iii.v.是用来从已有的推理关系生成新的推理关系的，称为二类推理规则^[9]。在生成一个推理关系

形式证明。我们还可以归纳地证明一切推理关系都具有某种性质，如果我们可以证明i.iv.有这种性质，且应用ii.iii.v.时这种性质保持。

例子：（结论真则蕴含真）

。由i.有

，令v.中

为

，A为B即证。

例子：（悖论的出现可导致所有合式公式为真）

。由i.有

，由iii.及替换规则即可得到结论。

例子：（负负得正）

。由i.有

，由iii.及替换规则即可得出结论。

因为

重言式定义等价性）。故定义A为重言式当且仅当

重言式的例子：

，更多的例子可以在参考文献2.的公理中找到。

从上面的重言式例子中不难看出一个在自然推理系统中得到重言式的方法，即利用定理：若

证明：由v.及

有

，即

是重言式。

四、命题演算P的等价演算（除P*外可跳过）

实际上，我们可以将推理规则中的ii.iv.用一条推理规则“vi.如果

^[10]”替代，所得到的命题演算

扩展符号：引进逻辑词

形成规则：将

推理规则：除P中原有的外，添加

　vi.

　vii.

　viii.

^[11]，那么

　vix.

　x.

　xi.

定理（析取词消去）：如果

，那么

。这个定理比viii.更常用，且可以取代它，因为该定理

时就成了viii.。

证明：

，所以由反证律有结论。

从上面的扩展方式来看，

原始逻辑词，由定义引进的逻辑词叫定义逻辑词。实际上，除了选取

不难发现，前面所介绍的命题演算中所出现的合式公式我们都不究其真假，而这是由所出现的合式公式的任意性导致的。为此，我们建立一个可以讨论真假的命题演算

符号包括

假的命题常元^[12]；形成规则有，f1.单独一个命题词（包括f）是一个合式公式，f2.若

P中一个有意义的结论是Peirce律：

证明：引理（否定前件）：

。引理的证明：由

及v.可得。现来证Peirce律。由否定前件、ii.和i.，因为

所以

。

该律只含有蕴含词和括号但证明中却出现了反证律，这是因为只用i.ii.iv.v.无法证明Peirce律（或称Peirce律独立于i.ii.iv.v.）。凭此我们又可以构建一个命题演算

蕴含命题演算。

五、一阶谓词演算

不难看出，在命题演算中我们完全不在意简单命题（定义见^[6]）内部的逻辑结构，并且讨论的结果对任意简单命题（命题变元）都成立，而这显然是不现实的^[13]。因此接下来我们要构造谓词演算（在本文中是一阶谓词演算，简称一阶演算）来研究涉及简单命题内部的问题。一阶演算只包含一阶谓词，即描述个体性质或个体间关系的谓词，一阶函数词，即运算个体的函数词，以及一阶量词即个体词参与构成的量词。注意，除非特殊说明，

在开始之前，我们翻译一段Principia Mathematica（参考文献3.）中介绍命题函数的部分^[14]：
“……（14-15页）令

是一个含有变量x的陈述句，于是当x被赋予任何明确的含义时

成为一个命题。因此，

被称为

命题函数；但它不是一个命题，因为由于x的歧义性我们无法做出任何断言。但正是由于不确定变量x所带有的个体性，x可以作为代入后使得“x受伤了”成为可判真假的命题的一切x的笼统例子^[15]。如果“x受伤了”和“y受伤了”在同一语境中被提出而y是另一个变量，那么取决于对x和y的规定这两个命题函数可以成为同一个命题或不同的命题，但是无论如何，上述两个命题在相同的语境中还是保有它们之间由变量的不确定性所导致的区别。所以“x受伤了”是一个命题函数的不确定的“值”。当我们想要讨论由“x受伤了”衍生出的命题函数时我们将之写成“

受伤了”，因而“x受伤了”就成为“

受伤了”的一个不确定的值。据此虽然同一个语境中“x受伤了”和“y受伤了”有区别，但“

受伤了”和“

受伤了”所传达的意思别无二致。更一般地，

是命题函数

的一个不确定值，并且当x被一个确定的意义a替换时，

就是

的一个确定值……（15页）对于任意命题函数

，有一个称为值域的收集包含所有由代入可能的x值得到的命题

。所有使得

为真的x被称作是“满足”

……（15页）分别记命题”值域中所有命题为真“为

，”值域中部分命题为真“为

^[16]……（注：后接六、的摹状词前）”
我们用命题函数作为例子来体现量词的约束作用。以命题函数“

”为例，当我们将

或

置于它前面时，我们就不能再随意将具体的个体代入x了（因为此时它成为了一种代表，代表论域中的全体/某个个体），也就是这个变元被

约束了。当所有变元都被约束时，命题函数退化为命题并可以判断真假。例如，若我们再将3替换成y使这个命题函数变成“

”，则当不组成量词/只有x或只有y组成量词时，“

”同量词（若有）依然是命题函数；但若我们同时将x,y组成量词，即约束所有变元，“

”同它的量词就是一个可以判定真假的命题。

依惯例，我们给出一阶演算

符号，第一类符号包括七个逻辑词

^[17]，第三类符号是谓词，第四类符号是括号。

在陈述形成规则前，先引入代入运算。设u是符号，我们用

代入运算符。再设

同时、分别代入

^[18]；又规定，如果文中先出现了

现在陈述谓词演算中的形成规则，但下给的形成规则生成的公式的不叫合式公式，而称命题形式，故该套形成规则又称命题形式的形成规则。在任意公式中，可以x出现但

未经约束的约束变元。由于X中x被约束当且仅当X中出现

不被约束当且仅当该公式中所有量词都不含x。现在给出F的四条命题形式的形成规则（其中加上用%括起来的内容以获得F*）：

　F1'.

　F2'.若

　F3'.若X和Y是两个命题形式，X中未经约束的约束变元在Y中不被约束，Y中未经约束的约束变元在X中不被约束，则X→Y%，X∧Y，X∨Y，X

　F4'.若X是命题形式，x是X中未经约束的约束变元，则

如同P中的1.，F1'.给出原子命题形式，并由其它形成规则生成别的命题形式。可以直观地感受到，明明是约束变元却不受约束是一件很违和的事情，而我们的合式公式都是合法的公式，故规定合式公式是一个不含未经约束的约束变元的命题形式。如果称一个有n个未经约束的约束变元的命题形式为n元命题形式，那么合式公式定义为零元命题形式。

例如，

是零元命题形式，

是一元命题形式。

事实上，参考教材的做法是先用形成规则生成合式公式，再用合式公式定义命题形式，然后给出命题形式的形成规则，最后证明合式公式含于命题形式。鉴于本文科普性质，我们采用更直接的建立演算的方法，但我们还是给出教材的做法：

由命题形式的形成规则与合式公式的定义可以导出F的合式公式的四条形成规则（加入%括起来的内容来得到F*）：

　F1.含n个自由变量的谓词

　F2.如果

　F3.若

　F4.若X(a)是合式公式，其中出现a而未出现x，则

^[19]

如果互不同的自由变元

在合式公式

中出现，互不同的约束变元

不在A中出现，则

称为n元

命题形式。在合式公式中，若约束变元x出现，则

必定出现，但在命题形式中可以x出现但

都不出现

^[20]。由形成规则知，合式公式中的个体变元要么是自由变元，要么是被约束的约束变元，故合式公式是且仅是零元命题形式。从合式公式的角度来看，命题形式其实只是合式公式在添加量词的过程中的一个中间产物：

。由于推理规则针对于合式公式，所以F1~F4更常用。

一阶演算的形成规则可以影响到推理规则的条件和结论。关于一阶演算的合式公式，通常要注意：①同一个合式公式中任二量词的命题变元不同②称

中A是该量词的

辖域，若

是合式公式，则x必须在辖域A中出现

^[21]③合式公式不含未经约束的约束变元④约束变元x在合式公式A中出现当且仅当

也在A中出现，或A是含x的量词的辖域。由形成规则对合式公式中约束变元和自由变元的限制，可以解释有些推理规则中诸如“什么时候何种命题词可以在哪个公式中出现不能在哪个公式中出现，它们之间是否需要互不相同”的限制。

现在我们给出F的推理规则（加上用%括住的内容以获得F*），其中

^[22]：

　Fi.

　Fii.如果

　Fiii.如果

　%Fiv.

　%Fv.

　%Fvi.如果

　%Fvii.

　Fviii.

　Fix.如果

　%Fx.

　%Fxi.如果

　Fxii.

　Fxiii.

　%Fxiv.

　%Fxv.

例子：“

”，“如果

，那么

”，“

”，“

”都是合法的。

定理（存在量词消去）：如果

，a不在

中出现，那么

。类似于析取词消去，这个定理也可以取代Fxiv.成为

。

证明：若要沿用析取词消去定理的方法我们须先证明量词的否定，因此这里用另一方法。当

时定理显然成立，否则设

。因此由

有

，应用n次

得到

，结合Fxiv.得

，再应用n次

得

即结论。

规定简写

证明：（以Fxiii.的多元形式为例）若

则由Fxiii.可成立

。令

并对

用Fxiii.与

可得

......如此便可归纳地证明多元形式的正确性。

类似于P，我们通过“①省略

定理：对于任意合式公式有穷序列

，

和

成立当且仅当“如果

，那么

”成立。

证明：必要性：令

即可由

及必要条件证出

。若

且

，则由

及三、中重言式定义等价性有

，再由

及必要条件有

，重复n次即有结论。充分性：显然。

实际上，把上述定理中的

换成其它在①中被替换的一类推理规则也可以得到类似的定理，可以试试看。如前文，可以将从F出发证明F*作为习题。

六、一阶演算F*的扩展、摹状词和偏函数

先来构造带函数词的谓词逻辑

符号由

函数变元

关于函数变元作以下必要的解释。函数词的运算结果是个体（但不一定是同一个论域中的个体，见下文），但函数变元不能认为是个体变元，除非这个函数不含个体变元，即

。原因是文末参考4.。

项形式的形成规则生成项形式，有如下两条：

　Ff1.单独一个（自由或约束）个体词是项形式

　Ff2.如果

其中，不出现约束变元的项形式称为项，出现n个互不相同的约束变元的项形式称为n元项形式。规定用英文正体小写字母

^[23]，当用它们表示任意项形式时会特别说明。除了F1'.规定的原子

命题形式的形成规则和F*中的是一样的；除了F1.规定的原子

合式公式的形成规则和F*中的是一样的。除了

推理规则都和F*一样。相应的改变也适用于多元的推理规则。

为什么

没有这种调整呢？因为现有的推理规则可以推出在个体变元变成项后的推理规则。

在

等词，如果它有下面两条推理规则：

可解释为与a等同的b也满足含a的函数词所满足的性质，

可解释为等词如等号有自反性。因此，可以试试利用上述两条推理规则证明I的传递性和对称性。

另外要区别

。前者是可以成立的，并且成立时b满足

；后者是一定不成立的，因为a和b是两个不同的代表任意项的符号。因此，

是a和b取值相等（等价），包括我们常说的为某个自由变元赋值用的实际上就是

；而a=a是指a和a符号相同。

加入等词的

项存在律

证明：这实际上是

致使的。在

中令

则有结论。

由于现阶段出现过的所有一阶演算都含于

全函数词，并称它在论域内处处有定义。与之相对的，称不在论域中处处有定义的函数为偏函数，它的运算结果可能不是所讨论论域中的个体。

在逻辑演算中若要表示论域外的运算结果，我们需要用到摹状词。如果读者对这一分析哲学的产品感兴趣，可以阅读下面的引用块以了解它的创作者是怎样描述它的。

摹状词理论是罗素的一个经典作品，也被称作分析哲学的典范。因此我们再翻译几段Principia Mathematica，以展现那个时代受希尔伯特鼓舞，逻辑学家与哲学家上下求索以寻求完备系统所作出的努力，以及他们展现材料的风格（小括号内为译者，也就是我所注；加星号的为作者，也就是罗素和怀特海所注）：
（对于符号的说明：

分别代表我们的

）

“……（6页）p和q的合取词可以用p.q表示，或——为了使p和q间的点能同时作为括号的代替使用——用p:q,p:.q,p::q表示……（9页）点的用法。（注：一个例子是

，最后会给出它的解释）在一个符号串中点有两种用途，一个是代替括号，一个是作为两个命题间的合取词。在前紧挨或紧跟

或其它类似表达式的点是括号的替代；其它情况中的点则是合取词。大致的原理是更多的点代表更外层的括号，更少的点代表更内层的括号。更具体的规则是在我们按点的出现情况分为I,II,III三类后得到的。I类的点毗邻

；II类的点紧跟明显提示有变元的括号后，如

及类似的表达式后；III类的点在两个命题之间作为合取词。I优先于II优先于III，由一组点所代表的括号范围向前或向后延伸并越过点数更少的点组以及点数与之相同、但优先级更低的点组，直到到达命题的尽头，点数更多的点组或点数相同、优先级不低于它的点组。命题间的点同时做括号的代替时其所代替的括号范围向前后延伸；其它的点所代表的括号范围只向远离他们所毗邻的符号的方向延伸……（10页）当我们要断言某个命题（为真）而不仅仅只是考虑它时，我们要在该命题前面加上断言号

，且紧跟断言号的点组拥有最多的点。以开头所给的例子为例，它代表

（注：实际上没有那么复杂，以在相应符号右侧的I,II类点组为例，在该点组处放一个左括号，一直向右到该点组所代表的括号范围尽头再放一个右括号）”

“……（23页）类（class）是所有满足某个命题函数的对象的聚集……（同页）用

表示一切满足

的x构成的类，并称

确定了

……（26页）任何函数

确定一个x和y之间的关系R。如果我们把关系视作有序对的类，那么由

确定的关系就是使得

为真的序对(x,y)所构成的类。被方程

确定的关系记作

……（29页）一个类被称作存在若它至少有一个元素：用”

“代表”类

存在“。因此我们定义

。不含元素的类称为空类，用

表示。恒假的命题函数确定空类。恒真的命题函数确定全集，用

表示……”

“……（30页）摹状词（Descriptions）^[24]。谈及摹状词，我们指的是一个具有"the so-and-so"（注：so-and-so：什么什么，这个那个）或其等价形式的短语。就目前而言，我们只将我们的注意力放在修饰单数的the上。我们将严格地使用这个定冠词以使它本身就能够表明某些事物的独一无二性（注：大概是把the当the only one使^[25]）；比如只要B有A以外的儿子，我们就不会说"A is the son of B"，所以形如"the so-and-so"的摹状词只应用于有且仅有一个so-and-so的时候。可以看出，一个摹状词需要一个只能被x的某个值而不能被x的其他值满足的命题函数

，这样"the x which satisfies

"肯定是个描述某个特定对象的摹状词，虽然我们也许不了解它所摹状的对象是什么。比方说，如果y是一个男人，则必定有且仅有一个x的值使得"x is the father of y"为真。因此"x is the father of y"是对一个特定的男人的摹状词，虽然我们不知道它摹状的是哪个男人。一个含"the"的短语总是预设了某个不含"the"的初始命题函数，为此我们应当采用"x begot y"作为我们的初始命题函数，而非"x is the father of y"。于是，"the father of y"就是那一个满足这个初始命题函数的x的值。

如果

是一个命题函数，那么符号

（注：这个符号里的℩在原书中实际上把幺塔

绕中心旋转180°后得到的，在LaTeX里的调用方法是

^[26]）在我们的符号体系中总是以可以被读为”the x which satisfies

(注：the only one x that satisfies

)“的方式被使用。但我们并不直接定义

为”the x which satisfies

“，因为这样相当于把”the x which satisfies

“这个短语当成了一个（新的）原始概念。

每次取代对象（object）作为命题的组成部分时，都是就已有的原始概念而言被定义的（注：大概是通过定义它所在的命题间接定义它）。一个这种在使用

的过程中定义它的例子就是即将要考虑的命题

。这个话题会在第三章里被更详细地处理。

应当与

作比较和区分，因为后者在运用过程中同样可以读为"the x's which satisfy

"（注：这不是显然不同吗，这读得都不一样）。这两种符号都是只在被应用时才被（间接地）定义的不完备的符号，它们都将在第三章中被进一步讨论。

总是有所应用，即用于（代表）

所确定的类；但

只有在有且仅有一个x满足

时才能被应用。应当注意到，由下面

的定义所赋予给符号

的意义并不假设我们事先知道”一“的概念（注：本书截至目前尚未定义数字1，这种过分谨慎的繁琐也是本书闻名于世的一大特点），这也是该符号在其它使用场合中的定义的特点。

我们现在来定义

使得它可以被释读为"the x satisfying

exists"。（我们也将观察到这和

有所不同）它的定义是：

，换言之，”存在对象c使得

在 x等于c而不是别的时成立“。它有一些等价形式（我只抄一个）：

……“

”……（31页）一个像”阿波罗存在“这样的命题确实是有着相同的逻辑形式的，尽管它没有清楚直接地含有词the。对于”阿波罗“这样实际上意味着”the object having such-and-such properties（有这样那样性质的对象）“，我们说它是”the object having the properties enumerated in the Classical Dictionary（有着一些古典词典中所陈列的性质的对象）（*同样的原理也适用于许多对实体的专有名词(proper name)的使用上，比如，说话的人每次向别人介绍只是道听途说而未亲身接触的对象的专有名词时 ^[27]）“如果用这些性质组成一个命题函数

，那么”阿波罗“就是

，命题”阿波罗存在“就是

。再举另一个例子，"the author of Waverley"是"the man who (*或更恰当地, the object which) wrote Waverley"，因而"Scott is the author of Waverley"可写作

……（同页）符号

又长又不方便因而很少使用，它主要是用来引入另一个符号，即

（原书中

实际上是倒转的逗号即前单引号），意思是"the object having the relation R to y（与y有关系R的那个对象）"，也就是我们所定义的

……“

”……（66页）第三章，不完备符号（1）摹状词。对于一个”不完备“的符号我们是指它在单独出现时没有任何意义而只在某些特定的语境中被定义。例如，在一般的数学中，

和

都是不完备符号：在它们具有意义前我们还应该添上什么东西。我们称这样的符号”在被（与其他东西结合起来）使用时被定义“，这样的定义称作”间接定义/整体定义部分/使用说明（注：原文是definition in use，译者认为这等同于defined while being used）“。因此若我们置

^[28]，我们实则定义了

的用法，但

本身还是无意义的。这样的做法将这类符号与（普遍意义上的）专有名词区分开来：例如”苏格拉底“表示一个特定的（实体）人，因此它无需任何语境就自带含义。如果我们代入一个语境，比方说”苏格拉底死了“，这句话即表述了一个由苏格拉底他自己参与构成的事实：存在一个特定的对象，即苏格拉底，确有既殁这一性质，而且这个对象参与构成我们说”苏格拉底死了“时所断言的诸多事实

^[29]。但是在其它情况下，这种简单的分析就无法达成我们的目的。比方说"the round square does not exist"，很明显这是一个真命题，但我们不能就这么认为它是在否定某个叫做"the round square"的对象存在，因为一旦有这样的一个对象，它就存在：我们不能先假设有某个东西又在随后拒绝接受有这样一个东西（注：原文及其解读在^[30]）。只要一个命题的语法主语能在不使该命题失去意义的前提下被认为是不存在的，它就不是一个专有名词，换言之，不是一个直接指代某物的词。因此，所有这种非专有名词作主语的命题都应当能够在经过分析后被等价改写成不含原有语法主语的形式^[31]。据此，我们可以初步地将"the round square does not exist"改写成与之等价的"it is false that there is an object x which is both round and square"。一般地，当称"the so-and-so"不存在时，我们有如下形式的命题：

以及它的等价改写

；后者中原来那个表面上的语法主语

完全消失了；因此在

中，

是一个不完备符号。

作为上述论点的延伸，我们总是可以证明到

是一个不完备符号。以命题"Scott is the author of Waverley"为例（*这里"the author of Waverley"是

），这个命题所表达的是一个恒等式，因此假使"the author of Waverley"能被当成专有名词并代表某个对象c，那么这个命题就是“Scott is c”。可是，"Scott is c"在当c是除了Scott以外的任何人时都是假的；而当c是Scott时它又成为了平凡的“Scott is Scott”，而这又和"Scott is the author of Waverley"有所不同。由此推广之（将Scott换成

，将the author of Waverley换成

），可以看出命题

可真可假，但绝非仅能像"a=a"一般平凡。然而，假使

是一个专有名词，

就只能或者假或者同"a=a"一般平凡（如上面所举的Scott的例子）。我们也可以通过说“

不是函数方程

的一个值”来表达这个意思，而这又引出了“

不是

可以取到的值”。但是

又可以取任何东西，这就明白了

什么都不是（未定义）。而它在使用过程中又有（不直接的）意义，所以它一定是不完备符号。（释读：在本段要注意到小写字母a,c,y都代表的是存在的对象，即专有名词。作者先用Scott的例子说明了摹状词"the author of Waverley"被当成专有名词时会产生矛盾，随后在一般化的语言中用反证法：”当

是专有名词时命题

中的摹状词只能取a，也就是说

就是

；而这显然是不同的两个命题，因为前者是对a的摹状，而后者只是一句废话“证明了摹状词不可能是专有名词，进而任意专有名词y取不到。另外聊一点题外话，译者发现作者在使用反证法时

唯一提示他在反证的只有用虚拟语气提出反证假设这一点；这或许是英语著作的习惯，但是却让最初没有注意到这一点的译者险些出现理解上的重大偏差（依中文惯例我们在反证开始的地方写上假设或它的同义词）。所以这就告诫我们在学习新概念时切忌自以为是，不作验证地用自己的理解解释作者。谬未必龃龉，以是加谬，久则危如累卵，殆矣。）
也许有人会认为"Scott is the author of Waverley"这句话断言"Scott"和"the author of Waverley"是同一个对象的两个名字，但其实只要他/她稍加思考就会明白这样理解是谬误的，因为如果那正是"Scott is the author of Waverley"所欲断言的事实的话，为了使这个事实为真我们须假设Scott这个人又被叫做the author of Waverley；而如果他真的又被叫做the author of Waverly的话即使他不是Waverley的作者，"Scott is the author of Waverley"也为真。与之相对的，按此理解如果没有人叫他the author of Waverley，"Scott is the author of Waverley"就一定是假的，即使他真的写了Waverley。所以不能认为"Scott is the author of Waverley"像"Napoleon is Bonaparte"一样是关于两个名字的命题；而这也例证了"the author of Waverley"不同于一个真正的专有名词这一道理。
所以所有含（*描述单数的）the的（*非命题）短语都是不完备符号：他们在语境中有意义，但是在单独出现时没有含义（如30页所述，我们可能并不了解它所摹状的对象是什么）。由于"the author of Waverley"（假使有意义的话它）既不能意为"Scott"否则"Scott is the author of Waverley"就等同于"Scott is Scott"，又不能意为任何"Scott"以外的东西，所以the author of Waverley没有意义。
从上面的讨论可以看出我们不应该尝试去定义

，但是我们应当定义它的用法，换言之，那些

在其中出现的形式化命题（用符号表示的命题

^[32]）。在此之前，观察对这些形式化命题的引进是十分重要的。参考这个例子："The author of Waverley was a poet."。这句话暗含了”（1）Waverley是被创作出来的（2）它是由一个人创作的而非多人合作（3）创作它的那个人是个诗人“，这三点中任何一点不成立都会导致这个命题不成立。所以"the author of 'Slawkenburgius on Noses' was a poet" 是假的，因为这个世界上根本就没有这本书；"the author of 'The Maid's Tragedy' was a poet"是假的，因为这部戏剧是Beaumont和Fletcher的合著。如果我们只说"Scott was a poet"这两种假值的可能性都不会存在，所以我们对

用法的解释必须考虑到这些情况。现在用

代替"x wrote Waverley"，那么显然任何关于

的命题要求（1）

（2）

。此处（1）要求至少有一个对象满足

（2）至多有一个对象满足

。这两个在一起就等价于

，即我们所定义的

。因此

必须是被任何包含

的命题所肯定的结论之一

^[33]。（注：将"y is a poet"换成

）若我们的命题是

，则如果

的话进一步被肯定的结论就是

，于是我们有

。（注：书中第5页规定了

和

为同类变元。解读：该段中"The author of Waverley was a poet."相当于以摹状词作为变量的一元命题形式，其中摹状词时"the author of Waverley"它所暗含的三点中前两点指出

必须成立，最后一点指出“如果

的话进一步被肯定的结论就是

”）”

译者小结：如果读者理解了上面所译的几个Principia Mathematica的选段的话，就应当对发展摹状词的目的有所了解，我们在此做简要概括。最初作者通过严格化定冠词the的用法使之与”有且仅有“挂钩，随后又通过找出相应的（不含定冠词的）初始命题函数以构建用全称量词而非数字”1“刻画唯一性的摹状词（的间接）定义，顺便我们也知道了唯一性虽然有”一“但可以绕过一来定义它。然后作者又举了阿波罗的例子来说明对于那些可由”唯一具有某些性质（the object having such-and-such properties）“这样的命题所确定的虚构对象都可以用摹状词在语境/命题中表示。并且接着又得到，摹状词不是专有名词，因为它做语法主语时总是可以通过等价改写把它消掉（同时由文末参考31.）；（用反证法得到）摹状词处处不完备，因而它只有在被放到语境中时才有意义。作者还指出了不能据"Scott is the author of Waverley"视"Scott"和"the author of Waverley"为同一事物的两个名字以及the author of Waverley既不能意为Scott也不能不意为Scott，进一步例证了目前所得到的结论。在所选译的最后一段中，作者依然是通过例子引出再利用definition in use定义带摹状词的命题时该命题所应该满足的条件，即

，并由此得到

的定义。

对于摹状词最简单的直观理解是，在数理逻辑中有着一系列使用限制的一组刻画非论域内个体最到位的形容语，而且摹状词是这些形容语本身。至于非论域内个体能不能是论域外个体，这就是涉及到虚构事物是否存在这样的哲学问题了；罗素认为，虚构事物是不存在的。

如果一个新的符号不能单独出现，而是需要和其它既定义的符号适当结合后才能被一起定义（即一起出现在定义式左端），那么就称这个符号是不完备的，并称这种定义为间接定义(definition in use)。简记

摹状词

the x satisfying

^[34][35]，其中

摹状词，

摹状算子，

辖域，

摹状符号，x称为摹状变元，

辖域，

标志符。

摹状词的标志符实际上是一个定界符，用以确定该摹状词的辖域A。因此，当不止一个摹状词时要为不同的摹状符号加下标

^[35]中的原因，我们只会讨论一些技术性的利用摹状词定义式替除所给合式公式中（多个）摹状词的问题。为叙述方便称

现在我们来引进偏函数。前面已经讲过，全函数生成的值依然是论域中的个体，全函数词表示全函数；偏函数生成的值可以是论域中的个体，也可以没有任何意义（称为无定义，即退化成摹状词那样），用偏函数词代表偏函数。我们所要做的主要是构造另一个带函数词的一阶逻辑，使得其中的函数词既可以是全函数词也可以是偏函数词，其中的项既可以是论域中的个体也可以无定义。回忆一下

于是，在

带命题词的谓词逻辑，并通过在上标的最左边加上p来表示该谓词逻辑带命题词。迄今为止我们已经得到了

定理

：

证明：先来证

。由

有

参考文献：

1.数理逻辑基础（上册）（下册）.科学出版社

2.http://www.qedeq.org/current/doc/math/qedeq_formal_logic_v1_en.pdf

3.Principia Mathematica. Second Edition, Cambridge University Press

参考

1. ^自然推理系统中的合式公式不论真假（事实上，自然推理系统中真假是以命题常元的形式存在的，根本就没有合式公式为真或为假一说），只论它们之间的推理关系。
2. ^一个逻辑演算可以有自然推理系统和重言式系统两种构建方式。至于什么是自然推理系统，什么是重言式系统，大概只有在这些系统被完全地叙述后才会知道，此处只提供仅涉及本段知识的大致概念。一个逻辑演算的自然推理系统和重言式系统共用一套符号和形成规则，重言式系统含有一组公理（特殊的合式公式）和一些推理规则，利用推理规则从公理得到的合式公式称为定理，定理和公理一起被称作重言式（又名永真式，于是可见重言式系统就是数理逻辑内常识上的公理化系统）；自然推理系统不使用公理而使用一组推理规则，这组推理规则或直接给出推理关系，或可用以从已有的推理关系生成新的推理关系。因此，重言式系统中推出的是重言式，自然推理系统中推出的是推理关系。重言式系统虽然更符合人们的传统观念，但它自身就包含公理这一事实会在将它应用于呈现其它公理系统（如集合论）时带来混淆，并且它不能很好地反映推理本身的性质，所以我们主要从自然推理系统入手介绍标题中的两种逻辑演算。值得一提的是，参考文献2使用的就是命题演算的重言式系统，可供参考。
3. ^在自然推理系统中，推理规则又被称为变形规则，推理关系又被称为变形关系，推出又称为变成。实际上，就自然推理系统不考虑合式公式真假这一特性而言，变形相比于推理会是一个更贴切、更具有提示性的措辞，因为它可使读者免受“合式公式或真或假”这样的惯性思维影响。如果有二元关系这方面的知识，更应当认为推出关系不过是一个二元关系罢了。
4. ^虽然各种变元在外界的取值有着极大的自由，但作为逻辑演算中最小的构成元素——符号，它们不能在逻辑演算内取值，否则除非它们所取的值也是符号，逻辑演算中就会出现比符号还小的构成元素来构成符号，而这是非法的。具体的例子可以见参考中的6.。
5. ^后文中所有的符号、形成规则和推理规则都是该演算（P）中给出的，故在名称上略去前缀“命题演算P中的”。但应知道，若可能出现混淆，就应当称合式公式为"P中的合式公式"，推理关系为“P中的推理关系”。
6. ^^ab参考中4.在命题演算中的体现就是，不能认为任意合式公式X也可以做命题变元。命题变元只能代表简单命题，即那些不能再写成其它命题的合取、析取、否定、蕴含的命题。
7. ^每条前面的记号是书签（如(∈)），他们的名字分别叫，肯定前提，推理传递，反证/否定词消去，蕴含词消去，蕴含词引入。
8. ^注意，此处及文中许多部分中所谓的推理关系指的都是狭义的推理关系，即一个含有一个推出符号的式子。（广义的）推理关系还是应当理解为合式公式有穷序列类和合式公式类间的二元关系。
9. ^至于如何利用推理规则从推理关系生成推理关系，我们需要关于推理规则的Modus Ponens，即若ii.iii.v.中“如果”后的推理关系已经被形式证明存在，则“那么”后的推理关系也存在。
10. ^注意，尽管伽马是任意合式公式有穷序列，该推理规则并不等同于“如果A→B为重言式那么B为重言式”，因为替换规则要求同时替换，若理解成重言式则“如果”和“那么”后的形式前提可以不一样，也就可以分开替换，这样就和原来的推理规则不等价了。即，对该推理公式的叙述中“如果对任意伽马，伽马推出...，那么对任意伽马，伽马推出...”是错的，“对任意伽马，如果伽马推出...，那么伽马推出...”才是对的。
11. ^注意此处“A├C且B├C”和“A,B├C”是不同的，后者要求A,B同时做形式前提而前者要求分开做。
12. ^由此可以看出，讨论合式公式的真假性将牺牲它的任意性，所以我们从不论其真假
13. ^举一个例子，令p为“是人都要吃饭”，q为“我是人”，r为“我要吃饭”，则显然有p,q├r，然而这在命题演算中是不成立的，因为p,q,r都不是合式公式。这里的问题在于，有些推理的成立依赖于简单命题内部的形式，而这在命题逻辑中无法体现。
14. ^需要注意，罗素用的是重言式系统，因而会有关于真假值的讨论。
15. ^Yet owing to the individuality retained by the ambiguous variable x, it is an ambiguous example from the collection of propositions arrived at by giving all possible determinations to x in "x is hurt" which yield a proposition.
16. ^不难发现，这是全称量词和特称量词的一种远古记法，其中的.是沿袭的Peano用点表示括号的方法，这种方法在本文主要的参考文献即参考文献1.中也得到了大量的使用。这些符号的使用方法被放在了摹状词前。
17. ^这里我们认为个体词视情况成为自由变元或约束变元，但有的地方认为个体词就是自由变元，约束变元是另一类符号，请知悉。
18. ^注意不要将这种写法与代表含有n个个体变元的谓词F(a_1,...,a_n)混为一谈，它只是用来提示X中有哪些元素的X的另一种写法，在处理时视作X处理。
19. ^从该条形成规则可以看出，合式公式中任二量词中的约束变元都是不同的。从F4'.也可看出（一旦x被约束，x就不能作为未经约束的约束变元再被约束）。
20. ^由定义可见，命题形式A(x_1,...x_n)中的x_1,...,x_n必须是A的未经约束的约束变元，否则它们将出现在A中。因此，一个简单的数n的方法就是，数出所有未经约束的约束变元。
21. ^这就是在说，“对于任意实数x，有1<3”是非法的命题，就更不能论其真假了。
22. ^从前面P的推理规则的命名可以归纳出一个命名方式，即“该推理规则所含逻辑词名+消去/引入”，其中消去/引入取决于该推理规则中该逻辑词在推理符号后较其于前是多了还是少了。如Fvi.可称为析取词消去。
23. ^参考文献1中是用英语小写斜体来表示项、用小写正体来表示个体词的。
24. ^根据热心网友建议，将不翻译the so-and-so以更好传达原文的意思。
25. ^之所以要这么绕弯子，从后文来看是因为此时作者尚未定义数字1，故不能用”有且仅有一个“这样的说法来给出摹状词，只能通过严格规定the的用法使之与后文中用全称量词与等于的方式给出摹状词唯一性的E!(℩x)(Φx)相挂钩。
26. ^（数学符号那么多，非要用不好打的）调用两个宏包usepackage[T1]{fontenc} usepackage{stix}加载字体STIX，然后在正文的数学环境中使用控制序列turnediota。
27. ^The same principle applies to many uses of the proper names of existent objects, e.g. to all uses of proper names for objects known to the speaker only by report, and not by personal acquaintance.
28. ^感觉作者放这个纯粹是为了让文章看起来更数学一点……
29. ^There is a certain object, namely Socrates, which does have the property of mortality, and this object is a constituent of the complex fact which we assert when we say "Socrates is mortal."
30. ^For if there were such an object, it would exist: we cannot first assume that there is a certain object, and then proceed to deny that there is such an object. 当时包括作者在内的许多哲学家认为把某物作为句子的主语谈论它时总是预先假定它所指代的对象存在，否则就无从谈及它。所以由于“圆的正方形不存在”这句话的主语是圆的正方形，我们在提出这句话时就已经预先假定了是有圆的正方形这么个东西的。因此“圆的正方形不存在”虽然确实是正确的，但这种表述就可能导致矛盾，因此我们要按后面的方法改写这个句子。
31. ^Thus in all such cases, the proposition must be capable of being so analysed that what was the grammatical subject shall have disappeared.
32. ^而且这些命题一定是复合命题，因为它们含有摹状词。
33. ^换言之，要包含(℩ x)(Φ x)一个命题必须肯定E!(℩ x)(Φx)。
34. ^试验证定义式右端是一个合式公式。提示：从该式中的原子命题形式出发验证该式为命题形式，再验证该式不含未经约束的约束变元。
35. ^^ab（详细参见上文中所翻译的Principia Mathematica）在尚未定义A(℩x(B(x)))之前，我们希望我们所定义的A(℩x(B(x)))的展开式能满足我们在用直观的语言分析A(℩x(B(x)))所对应的命题"the author of Waverley is a poet"时所得到的它需要满足的三个要素，即①有至少一个值y在代入x后满足摹状B(x)②有至多一个x满足摹状B(x)③唯一满足摹状B(x)的y显然也应当满足要求的性质A。但无论怎么说，摹状词是一个重言式系统内的概念，强行移植到自然推理系统后A(℩x(B(x)))的定义式作用必定会沦为使我们能够用一个较短的符号A(℩x(B(x)))来替代推理关系中可能出现的一串较长的公式（即其定义式右端的公式）。