组合数计算（从1000到1e9的组合数各类求法）

组合数涉及的问题很多，求解过程中涉及的定理判定也有很多，期间断断续续参考了很多大佬们的博客，最终进行了总结。在此我使用用问题引入算法的方法来一步一步了解组合数。

简单的组合数问题（运用快速幂及递归实现杨辉三角）

组合数求解

像关于组合数求和问题如∑ C_nⁱ（0<=i<=n）可利用快速幂，此时∑ C_nⁱ = 2^n

此为二项式定理推导出的结果练习题可见洛谷P3414
若求较小的组合数如C(n,m)（m<=n<=1000 保守估计1000，实际可能可以更大些，但不会超数量级）可直接利用杨辉三角的法则来计算组合数C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1，m)。以下为杨辉三角的简单介绍和理解：

杨辉三角简单介绍

性质

1.每个数等于它上方两数之和–>最重要的一个性质

2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大–>由第5个性质可知

3.第n行的数字有n项

4.第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1),即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数

5.第n行的第m个数和第n-m+1个数相等,为组合数性质之一,即C(n,m)==C(n,n-m+1)

6.每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。

7.(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项–>二项式定理

杨辉三角还有其他性质（例如斐波那契数列与其的关系）在此不做说明

由第6个性质可知上面第二类问题C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1，m)的来由

但是，利用杨辉三角递归，只可以处理n,m较小的组合数。当n，m很大时，我们如何求解呢?

较复杂的组合数问题(n,m较大时)

逆元在组合数中的应用

对欧拉-费马小定理的理解

在了解逆元之前，需要先了解欧拉-费马小定理，并有此推导逆元（如果已经了解了欧拉-费马小定理，可直接跳到标题：通过逆元计算组合数）

欧拉定理：若正整数 a , n 互质（公因数只有1），则 a^φ(n)≡1(mod n) 其中 φ(n) 是欧拉函数，此函数代表（1~n) 与 n 互质的数的个数。

简单证明:

令 x₁ x₂ x₃…x_φ(n) 为1-n中与n互质的数（互质即gcd(m,n)=0)

我们先来研究 ax₁ ax₂ ax₃… ax_φ(n) 这一队数列

**其必有任意两个元素mod n 不相同 **

反证：若存在ax1 ≡ ax2（mod n），则 n |（ ax1 - ax2 ）即n可以整除( ax1 - ax2 )

而（ax1-ax2）/n ==（x1-x2）/n * a 或 a/n * (x1-x2) ；

第一种除法由于（x1-x2）< n ∴一定除不开

第二种除法由于 a和 n互质 ∴也一定除不开。综上不可能存在ax1 ≡ ax2（mod n），得证。

且∵ a与n互质所以 ax_i 与n也互质所以根据欧几里得算法（辗转相除法）有gcd（axi，n）1 所以：gcd（ax_i，n） gcd（n，ax_i%n）== 1

又∵ax₁%n, ax₂%n, ax₃%n… ax_φ(n)%n 均小于 n，且ax₁%n, ax₂%n, ax₃%n… ax_φ(n)%n又都与n互质

∴ ax₁%n, ax₂%n, ax₃%n… ax_φ(n)%n必为x₁ x₂ x₃…x_φ(n) 以一定顺序排列而成的。

那么必有：ax₁%n, ax₂%n, ax₃%n… ax_φ(n)%n = x₁ x₂ x₃…x_φ(n)

自然就有 ax₁%n, ax₂%n, ax₃%n… ax_φ(n)%n ≡ x₁ x₂ x₃…x_φ(n) （mod n）

即 ax₁ ax₂ ax₃ … ax_φ(n) ≡ x₁ x₂ x₃…x_φ(n) （mod n），把x₁ x₂ x₃…x_φ(n) 移到左边（因为肯定不会出现小数，所以可以直接移）

∴有 **(a^φ(n)-1)x₁ x₂ x₃…x_φ(n) ≡ 0 (mod n) **

又∵x₁ x₂ x₃…x_φ(n) 均与 n互质

∴自然有(a^φ(n)-1) ≡ 0 (mod n)

∴ 证得 a^φ(n)≡1(mod n)

接下来，我们利用欧拉定理，简单证明费马小定理

费马小定理：对于质数p，任意整数，均满足：a^p≡a（mod p）

简单证明：

由于 a^p≡a（mod p）∴有a^p-1≡1 (mod p) 这和 a^φ(n)≡1(mod n)类似，所以只需证明p-1φ(n)即可，且因为p是一个质数，易得与其互质的数为1，2，3…p-1,共p-1个所以有p-1φ(n)，得证

(注意：若有a是p的倍数，则一定有a^p≡a≡0（mod p），不必证明)

（拓展）欧拉定理的推论：若正整数a，n互质，那么对于任意正整数b，有a^b≡a^{b mod φ（n）}（mod n）

简单证明：若a^b ≡ a^{b mod φ（n）}（mod n)则有a^{b-b mod φ（n）}≡ 1（mod n)，因为φ（n）| b-b mod φ（n）所以令 p=（b-b mod φ（n））/φ（n） ∴即证(a^p)^φ（n）≡1 (mod n) 易得a^p和 n是互质的所以得证

以上引用，总结自：https://www.cnblogs.com/zylAK/p/9569668.html （这篇博客里还有一道例题，想具体了解欧拉定理推论可以去看一下）

通过逆元计算组合数

首先了解逆元的定义：

逆元：对于a和p（a和p互素），若a*b%p≡1，则称b为a的逆元。(mod p的情况下)

首先，我们弄清，为什么求组合数需要用到逆元呢？

此时我们就需要使用上面