UA MATH523A 实分析3 积分理论17 Fubini-Tonelli定理

经过15讲与16讲的铺垫，我们现在可以建立重积分计算的Fubini-Tonelli定理了。这三篇博文是按照Folland的教材的内容和逻辑展开的。Folland建立Fubini理论的逻辑是先建立集合的特征函数的重积分与累次积分的关系，然后推广到一般函数；不同的作者建立Fubini理论的逻辑有所不同，大家可以参考夏道行、徐森林、Rudin、那汤松等人的著作了解其他的建立方式。

Fubini-Tonelli定理 (X,M,μ)(X,\mathcal{M},\mu)(X,M,μ)与(Y,N,ν)(Y,\mathcal{N},\nu)(Y,N,ν)是有σ\sigmaσ-有限测度的测度空间。

(Tonelli) f∈L+(X×Y)f \in L^+(X \times Y)f∈L+(X×Y)，g(x)=∫fxdν=∫f(x,y)dν(y)h(y)=∫fydμ=∫f(x,y)dμ(x)g(x)=\int f_x d\nu=\int f(x,y)d\nu(y)\\ h(y)=\int f^y d \mu=\int f(x,y)d\mu(x)g(x)=∫fxdν=∫f(x,y)dν(y)h(y)=∫fydμ=∫f(x,y)dμ(x)则g∈L+(X),h∈L+(Y)g \in L^+(X),h \in L^+(Y)g∈L+(X),h∈L+(Y)，并且∫fd(μ×ν)=∫gdμ=∫fdν\int f d(\mu \times \nu)=\int gd\mu = \int f d \nu∫fd(μ×ν)=∫gdμ=∫fdν
(Fubini) f∈L1(X×Y)f \in L^1(X \times Y)f∈L1(X×Y)，g(x)=∫fxdν=∫f(x,y)dν(y)h(y)=∫fydμ=∫f(x,y)dμ(x)g(x)=\int f_x d\nu=\int f(x,y)d\nu(y)\\ h(y)=\int f^y d \mu=\int f(x,y)d\mu(x)g(x)=∫fxdν=∫f(x,y)dν(y)h(y)=∫fydμ=∫f(x,y)dμ(x)则fx∈L1(Y),fy∈L1(X),g∈L1(X),h∈L1(Y)f_x \in L^1(Y),f^y \in L^1(X),g \in L^1(X),h \in L^1(Y)fx∈L1(Y),fy∈L1(X),g∈L1(X),h∈L1(Y)并且∫fd(μ×ν)=∫gdμ=∫fdν\int f d(\mu \times \nu)=\int gd\mu = \int f d \nu∫fd(μ×ν)=∫gdμ=∫fdν

注 Fubini与Tonelli处理的其实都是化重积分为累次积分的问题，但是Tonelli要求函数是L+L^+L+的，也就是Lebesgue可积的非负函数，而Fubini定理适用范围是L1L^1L1，即可积函数即可，包括可积的实值函数与复值函数等，所以可以处理的情况比Tonelli更多。

评注我们简单讨论一下这两个定理的应用。正如上面这个注所言，在计算时我们肯定是以Fubini定理为依据，化重积分为累次积分，或者交换累次积分的次序来简化计算，但是Fubini定理要求重积分的被积函数fff是L1L^1L1的，也就是说我们在使用Fubini之前需要验证
∫∣f∣d(μ×ν)<∞\int |f|d(\mu \times \nu)<\infty∫∣f∣d(μ×ν)<∞

显然∣f∣|f|∣f∣是一个非负函数，因此我们根据Tonelli定理，验证上述重积分的某个累次积分有限即可，完成这个验证后，我们再使用Fubini定理进行计算。

证明Tonelli定理

第一部分：假设f=χE,E∈M⊗Nf=\chi_E,E \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}f=χE,E∈M⊗N，根据上一讲证过的特征函数的Fubini定理可得，Tonelli定理成立，并且根据积分的线性性可知Tonelli定理对简单可测函数也成立。

第二部分：∀f∈L+(X×Y)\forall f \in L^+(X \times Y)∀f∈L+(X×Y)，可以找到一个简单函数{fn}⊂L+(X×Y)\{f_n\}\subset L^+(X \times Y){fn}⊂L+(X×Y)，使得
fn(x,y)↑f(x,y),∀(x,y)∈X×Yf_n(x,y) \uparrow f(x,y),\forall (x,y) \in X \times Yfn(x,y)↑f(x,y),∀(x,y)∈X×Y

根据第一部分，∀n≥1\forall n \ge 1∀n≥1，
∫fnd(μ×ν)=∬fndνdμ=∬fndμdν\int f_nd(\mu \times \nu) = \iint f_n d\nu d\mu = \iint f_n d\mu d\nu ∫fnd(μ×ν)=∬fndνdμ=∬fndμdν

记gn=∫fndν,hn=∫fndμg_n=\int f_n d\nu ,\ \ h_n=\int f_n d\mu gn=∫fndν, hn=∫fndμ

则gn,hng_n,h_ngn,hn非负可测递增。根据单调收敛定理，
g=∫fdν=lim⁡n→∞∫fndν=lim⁡n→∞gng=\int f d \nu = \lim_{n \to \infty}\int f_n d\nu = \lim_{n \to \infty} g_ng=∫fdν=n→∞lim∫fndν=n→∞limgn

也就是ggg存在且非负可测。类似地，
h=∫fdμ=lim⁡n→∞∫fndμ=lim⁡n→∞hnh=\int f d \mu = \lim_{n \to \infty}\int f_n d\mu = \lim_{n \to \infty} h_nh=∫fdμ=n→∞lim∫fndμ=n→∞limhn

所以hhh存在且非负可测。接下来我们计算积分，
∫gdμ=lim⁡n→∞∫gndμ=lim⁡n→∞∬fndνdμ=lim⁡n→∞∫fnd(ν×μ)=∫fd(μ×ν)\int g d \mu = \lim_{n\to \infty}\int g_nd \mu = \lim_{n\to \infty}\iint f_n d\nu d \mu \\= \lim_{n\to \infty}\int f_n d(\nu \times \mu) = \int f d (\mu \times \nu)∫gdμ=n→∞lim∫gndμ=n→∞lim∬fndνdμ=n→∞lim∫fnd(ν×μ)=∫fd(μ×ν)∫hdν=lim⁡n→∞∫hndν=lim⁡n→∞∬fndμdν=lim⁡n→∞∫fnd(ν×μ)=∫fd(μ×ν)\int h d \nu = \lim_{n\to \infty}\int h_nd \nu = \lim_{n\to \infty}\iint f_n d\mu d \nu \\= \lim_{n\to \infty}\int f_n d(\nu \times \mu) = \int f d (\mu \times \nu)∫hdν=n→∞lim∫hndν=n→∞lim∬fndμdν=n→∞lim∫fnd(ν×μ)=∫fd(μ×ν)

这样我们就完成了Tonelli定理的证明。

证明Fubini定理
第一部分：因为Fubini定理的结论与Tonelli要多一点，我们先考虑在Tonelli的条件下，Fubini成立，也就是考虑∀f∈L+(X,Y)\forall f \in L^+(X,Y)∀f∈L+(X,Y)，我们要说明fx∈L1(Y),fy∈L1(X)f_x\in L^1(Y),f^y \in L^1(X)fx∈L1(Y),fy∈L1(X)。因为
∫gdμ=∫hdν=∫fd(μ×ν)<∞\int g d\mu = \int h d \nu = \int f d (\mu \times \nu)<\infty∫gdμ=∫hdν=∫fd(μ×ν)<∞

所以g,hg,hg,h几乎处处有限。又因为
g=∫fxdν,h=∫fydμg = \int f_x d \nu, \ h = \int f^y d \mug=∫fxdν, h=∫fydμ

所以fx∈L1(Y),fy∈L1(X)f_x \in L^1(Y),f^y \in L^1(X)fx∈L1(Y),fy∈L1(X)几乎处处成立。

第二部分：∀f∈L1(X×Y)\forall f \in L^1(X \times Y)∀f∈L1(X×Y)，做非常一般性的讨论，假设fff是复值函数，我们可以把fff分解为
f=(Re[f]+−Re[f]−)+i(Im[f]+−Im[f]−)f = (Re[f]^+-Re[f]^-)+i(Im[f]^+-Im[f]^-)f=(Re[f]+−Re[f]−)+i(Im[f]+−Im[f]−)

对这四部分使用Tonelli定理，再根据线性性可知，Fubini定理成立。

证毕

下面是两个Fubini定理的例题供大家参考学习：
UA MATH523A 实分析3 积分理论例题 Fubini定理证明积分不等式

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