UA MATH523A 实分析3 积分理论例题一个测度与积分的综合计算题

例 EnE_nEn是一列[0,1][0,1][0,1]上的Lebesgue可测集，∃k∈[0,1]\exists k \in [0,1]∃k∈[0,1]，满足
lim⁡n→∞m(En∩[0,a])=ka,∀a∈[0,1]\lim_{n \to \infty} m(E_n \cap [0,a])=ka,\forall a \in [0,1]n→∞limm(En∩[0,a])=ka,∀a∈[0,1]

证明∀f∈L1([0,1])\forall f \in L^1([0,1])∀f∈L1([0,1]),
lim⁡n→∞∫Enfdm=k∫01f(x)dx\lim_{n \to \infty} \int_{E_n}fdm = k\int_0^1f(x)dxn→∞lim∫Enfdm=k∫01f(x)dx

证

Claim：∀I⊂[0,1]\forall I \subset [0,1]∀I⊂[0,1], III是一个区间，有m(En∩I)→km(I)m(E_n \cap I) \to km(I)m(En∩I)→km(I)。

根据假设，对[0,a][0,a][0,a]这类区间显然是成立的，我们需要还讨论[b,1][b,1][b,1]与(a,b)(a,b)(a,b)这两类区间：

m(En∩[b,1])=m(En∖[0,b))=m(En∖[0,b])=m(En)−m(En∩[0,b])→k(1−b)m(E_n \cap [b,1])=m(E_n \setminus [0,b)) = m(E_n \setminus [0,b])=m(E_n)-m(E_n \cap [0,b]) \to k(1-b)m(En∩[b,1])=m(En∖[0,b))=m(En∖[0,b])=m(En)−m(En∩[0,b])→k(1−b)，其中m(En)→km(E_n) \to km(En)→k，取a=1a=1a=1即可验证；
m(En∩(a,b))=m(En∖[0,a]∖[b,1])=m(En)−m(En∩[0,a])−m(En∩[b,1])→k(b−a)m(E_n \cap (a,b)) = m(E_n \setminus [0,a] \setminus [b,1]) = m(E_n)-m(E_n \cap [0,a])-m(E_n \cap [b,1])\to k(b-a)m(En∩(a,b))=m(En∖[0,a]∖[b,1])=m(En)−m(En∩[0,a])−m(En∩[b,1])→k(b−a)

这样我们就说明了Claim为真。

下面我们讨论关于积分的结论，没什么头绪的时候，关于积分的结论我们总是可以先讨论简单可测函数然后再用简单可测函数逼近一般可测函数的思路处理。所以假设
ϕ=∑j=1NajχIj\phi = \sum_{j=1}^N a_j \chi_{I_j}ϕ=j=1∑NajχIj

其中IjI_jIj是[0,1][0,1][0,1]上的区间。计算
∫Enϕdm=∑j=1Najm(En∩Ij)→∑j=1Nkajm(Ij)=k∫01ϕ(x)dx\int_{E_n} \phi dm=\sum_{j=1}^N a_j m(E_n \cap I_j) \to \sum_{j=1}^Nka_jm(I_j)=k\int_0^1\phi (x)dx∫Enϕdm=j=1∑Najm(En∩Ij)→j=1∑Nkajm(Ij)=k∫01ϕ(x)dx

也就是说关于积分的那个结论对简单可测函数是成立的。

∀f∈L1([0,1]),ϵ>0\forall f \in L^1([0,1]),\epsilon>0∀f∈L1([0,1]),ϵ>0，根据Theorem 2.10，∃ϕ\exists \phi∃ϕ为简单函数，使得
∫∣f−ϕ∣dm<ϵ3\int|f-\phi|dm<\frac{\epsilon}{3}∫∣f−ϕ∣dm<3ϵ

因为
∫Enϕdm→k∫01ϕ(x)dx,n→∞\int_{E_n} \phi dm \to k\int_0^1\phi (x)dx, n \to \infty∫Enϕdm→k∫01ϕ(x)dx,n→∞

∃N∈N,∀n≥N\exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N∃N∈N,∀n≥N,
∣∫Enϕdm−k∫01ϕ(x)dx∣<ϵ3\left| \int_{E_n}\phi dm - k\int_0^1\phi (x)dx \right|< \frac{\epsilon}{3}∣∣∣∣∫Enϕdm−k∫01ϕ(x)dx∣∣∣∣<3ϵ

所以
∣∫Enfdm−k∫01f(x)dx∣=∣∫En(f−ϕ)dm+k∫01(f−ϕ)(x)dx+∫Enϕdm−k∫01ϕ(x)dx∣≤∫En∣f−ϕ∣dm+k∫01∣f−ϕ∣(x)dx+∣∫Enϕdm−k∫01ϕ(x)dx∣<ϵ3+ϵ3+ϵ3=ϵ\left| \int_{E_n}f dm - k\int_0^1f(x)dx \right| \\ = \left| \int_{E_n}(f-\phi)dm +k\int_0^1(f-\phi)(x)dx + \int_{E_n}\phi dm - k\int_0^1\phi(x)dx \right| \\ \le \int_{E_n}|f-\phi|dm+k\int_0^1|f-\phi|(x)dx+\left| \int_{E_n}\phi dm-k\int_0^1 \phi(x)dx \right| \\ < \frac{\epsilon}{3}+ \frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3} = \epsilon∣∣∣∣∫Enfdm−k∫01f(x)dx∣∣∣∣=∣∣∣∣∫En(f−ϕ)dm+k∫01(f−ϕ)(x)dx+∫Enϕdm−k∫01ϕ(x)dx∣∣∣∣≤∫En∣f−ϕ∣dm+k∫01∣f−ϕ∣(x)dx+∣∣∣∣∫Enϕdm−k∫01ϕ(x)dx∣∣∣∣<3ϵ+3ϵ+3ϵ=ϵ