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算术平均

几何平均

调和平均

平方平均

移动平均

参考资料

算术平均、几何平均、调和平均、平方平均和移动平均跟计算编程有什么关系：Just One Word，不能只会算术平均数，还有其他很多选择，以及不同场景使用不同的平均数。

算术平均

算术平均(Arithmetic mean)是最基本、最常用的一种平均指标，描述数据集中趋势的一个统计指标。

计算公式为：

即，n 个数据相加后除以 n。0 也记入。

统计学上，算术平均较中位数和众数更少受到随机因素影响， 但缺点是它极易受到极大极小值的影响。例如，有数组 (5, 7, 5, 4, 6, 7, 8, 5, 4, 7, 8, 6, 20)，平均值是 7.1，但实际上大部分数据(10个)都不超过7，如果去掉 20，平均数为 6。

上面是简单算术平均，它只是加权算术平均的一种特殊形式。若原始数据，被分成 k 组，各组的值为 (x1，x2，...，xk)，各组频率分别为 (f1，f2，...，fk)，则加权算术平均数的计算公式为：

由公式可以看出，加权算术平均数同时受到两个因素的影响，一个是各组数值的大小 xi，另一个是各组分布频数 fi。在数值不变的情况下，某组的频数越多，该组数值对平均数的作用就大，反之，越小。

算术平均可以用来反映一组数据的一般情况，也可以对不同组的数据进行比较。平均数可以直观、简明的表示一组数据，所以，在日常生活中经常用到，如平均速度、平均身高、平均产量、平均成绩等等。算术平均主要适用于数值型数据，不适用于品质数据。

几何平均

几何平均(Geometric mean)，是另一种计算平均值的方法。对几何平均，也可以像算术平均一样，做加权的几何平均。

简单几何平均的计算公式为：

即，n 个数据相乘后开 n 次方。其中，xi 都是正实数。

几何平均适用于对比率、指数等进行平均，主要用于平均增长(变化)率，对数正态分布。

算术-几何平均数

若有两个正实数 x 和 y，则它们的算术-几何平均数为，先计算这两个数的算术平均数，称为 a1；再计算它们的几何平均数，称为 g1。

重复这个步骤，便得到了两个数列 (an) 和 (gn)：

这两个数列都收敛于一个相同的数，这个数称为 x 和 y 的算术-几何平均数，记为 M(x, y) 或 agm(x, y)。

示例：

计算 a0 = 24和 g0= 6的算术-几何平均数 M(24, 6) 如下表所示：

n

an

gn

0

24

6

1

15

21

2

13.5

13.41640786500...

3

13.45820393250...

13.45813903099...

4

13.45817148175...

13.45817148171...

a0 = 24和 g0= 6的算术-几何平均数 。

1 和 的算术-几何平均数的倒数，称为高斯常数。

调和平均

调和平均(Harmonic Mean)，也分简单和加权的形式。加权调和平均数是加权算术平均数的变形。多数多情况下，我们只掌握每组某个标志的数值总和(m)，而缺少总体单位数(f)的资料，因此，不能直接采用加权算术平均数法计算平均数，而则采用加权调和平均数。

先由加权算术平均数公式推到加权调和平均公式，最后推到简单调和平均公式，它是加权调和公式的特殊形式。加权算术平均的计算公式为：

即，加权调和平均公式为：

当 mi=1 时，则公式退化成简单调和平均公式：

即，n 个数据的倒数取算术平均，再取倒数。

调和平均一般用于计算平均速率。

示例：某工厂购进材料三批，每批价格及采购金额资料如下表：

价格x(元/千克)

采购金额 m(元)

采购数量 m/x(千克)

第一批

35

10000

286

第二批

40

20000

500

第三批

45

15000

330

合计

——

45000

1116

每千克 40.32 元。

二个数的调和平均数

最常用的是二个正数值 x1 和 x2 的调和平均数 H：

而 x1 和 x2 的算术平均数 A 与几何平均数 G 分别为：

那么，它们存在如下关系：

应用

可以用在相同距离，但速度不同的平均速度，如一段路，前半段时速 60 公里，后半段时速 30 公里〔两段距离相等〕，则其平均速度为两者的调和平均数 40 公里。

两个电阻 R1 和 R2 并联后的等效电阻 Req为调和平均数的一半。

物理学中的减缩质量也为调和平均数的一半。

毕达哥拉斯平均是算术平均数(A)、几何平均数(G)及调和平均数(H)，这三种平均数的总称。

平方平均

平方平均(Quadratic mean)，简称方均根(Root Mean Square，RMS)，是平方根的广义平均(generalized mean)，计算公式为：

即，n 个数据的平方取算数平均，再开平方根。

利用柯西不等式，平方平均与算术平均的关系是：平方平均不小于算术平均。

应用

平方平均数常用来计算一组数据和某个数据的“平均差”。像交流电的电压、电流数值以及均匀加速直线运动的位移中点平均速度，都是以其实际数值的方均根表示。例如，交流电 220V 表示电压信号的均方根(又称为有效值)，即 220V，为交流电瞬时值(瞬时值又称暂态值)的最大值的。

统计中的标准差 s：

即，所有数据 与算术平均值 相减 ，取它们的平方平均数。

移动平均

移动平均(Moving Average，MA)，又称“移动平均线”简称均线，是一种简单平滑预测技术，它的基本思想是：根据时间序列资料、逐项推移，依次计算包含一定项数的序时平均值，以反映长期趋势的方法。因此，当时间序列的数值由于受周期变动和随机波动的影响，起伏较大，不易显示出事件的发展趋势时，使用移动平均法可以消除这些因素的影响，显示出事件的发展方向与趋势(即趋势线)，然后依趋势线分析预测序列的长期趋势。

移动平均法适用于即期预测。当产品需求既不快速增长也不快速下降，且不存在季节性因素时，移动平均法能有效地消除预测中的随机波动，是非常有用的。移动平均可抚平短期波动，反映出长期趋势或周期。最常见的是利用股价、回报或交易量等变量计算出移动平均。

数学上，移动平均可视为一种卷积(卷积是通过两个函数 f 和 g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数 f 与经过翻转和平移的 g 的重叠部分的累积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“移动平均”的推广)。

移动平均法可以分为：简单移动平均和加权移动平均。

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