Transformations in signals and systems DSP

按照时间顺序，已经认识7种变换了：傅里叶级数（FS），离散傅里叶级数（DFS），傅里叶变换（FT），离散时间傅立叶变换（DTFT），拉普拉斯变换（LT），Z变换（ZT），离散傅里叶变换（DFT）。来捋一捋它们的关系吧，随便说说，欢迎大家挑错。宏观上有两条线索。

第一条线索如下

FS是所有变换的源头（真的是老祖宗级别），也是傅立叶的著作《热的解析理论》中表达的idea，可能也是傅立叶本人最大的贡献了。但是FS只适用于周期信号，而我们碰到的信号绝大部分都是非周期的，这就需要对FS做一定的推广，这就是著名的FT，绝大多数信号都可以用FT来分析其频谱！绝不部分系统的单位冲激响应也可以做FT，普适性非常高，意义重大。但是FT依然有局限性，它无法分析系统的因果性，稳定性这些重要的性质，所以Laplace在FT的基础上又做了推广，得到了LT，如今LT在控制领域，系统领域仍然发挥着重要的作用。到目前为止，本来就可以happy ending了，但是这些变换都存在着一个问题，它们的时域信号都是连续的！而计算机只能处理数字信号（离散的）。也就是说：这些变换全都没办法在计算机上实现，只能算纸上谈兵。

所以说：我们很需要一系列可以用来分析离散时间信号（时间上离散的信号）的变换，这就引出了我们的第二条线索。这里我走了一条看似和线索一相反的路。我选择Z变换作为离散时间信号的第一个变换，因为它涵盖的范围最广泛，最具有普适性（它在离散时间信号分析中的地位等同于拉普拉斯变换在连续时间信号分析中的位置），Z变换的自变量是整个Z复平面。而如果我们把目光集中在单位圆上的话，就会看到Z变换的一个特例：离散时间傅立叶变换DTFT，它是连接时域和数字频率域的桥梁，其地位等同于连续时间的傅立叶变换。但是，一个最最严重的问题依旧没有解决，我们的愿望是想用计算机来帮我们来分析信号和系统，可是DTFT虽然时域已经离散，但是其频域是连续的，周期的！计算机无法存储也无法计算！这个时候，我们就想了，能不能用什么办法把频域也变成离散的呢？我们在DFS中找到了解决方案，如果时域上做周期延拓，频域自然变为离散的了，这个问题得到了顺利解决。接下来只要把频域再变成非周期的，那么问题就基本上解决了。下面就是DFT（离散傅里叶变换）出场的时候。上次讲到DFS的时域和频域都是离散的，周期的，可以看作是一个主值区间的周期延拓，如果我们只取主值区间，就得到了DFT，它的时域频域都是离散的，非周期的，可以用计算机来进行处理了。到目前为止，7种变换的关系我已经说清楚了，但是由于还没学FFT，现在不好讲FFT，等过一阵学完了FFT再来把这最后一环补齐，大家下次见

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