慢慢填坑

1 运筹学知识

P问题，NP问题，NPC问题，NP-hard问题等相关概念：

• P问题(polynomial)：求解一个问题的时间复杂度是多项式级别；
• NP问题(nondeterministic polynomial)：可以在多项式时间里验证解是否正确的问题。定义NP问题的意义在于，如果一个问题不能在多项式时间验证，则这个问题一定没有多项式时间的算法。
  图中某条路是否是Hamilton回路，可以在多项式时间验证，是NP问题图中
  是否不存在Hamilton回路，不可以在多项式时间验证。
• NPC问题(nondeterministic polynomial complete)：
  定义：
  一个问题1）它是NP问题；2）所有的问题都可以约化到它，这样的问题称为NPC问题。
  证明：
  1）先证明它是NP问题；
  2）再证明其中一个已知的NPC问题能约化到它（由约化的传递性，如果A能约化到B，则B的时间复杂度不低于A）。
  特点：NPC问题目前没有多项式的有效解法，只能有指数级或阶乘级复杂度的算法搜索
• NP-hard问题(nondeterministic polynomial - hard)：满足NPC问题的第2条但是不一定满足第1条。即使NPC问题获得了多项式级别的求解算法，NP-hard问题可能仍然找不到多项式级的算法。
  

2 线性规划

2.1 大M法

• 定义
  在线性规划问题的约束条件中加人工变量构造初始可行基，要求在目标函数中相应地添加认为的M或-M为系数的项。在极大化问题中，对人工变量赋于-M作为其系数；在极小化问题中，对人工变量赋于M作为其系数，M为一任意大（而非无穷大）的正数。把M看作一个代数符号参与运算，用单纯形法求解，故称此方法为大M法。
• 求解步骤
  应用单纯形法在改进目标函数的过程中，如果原问题存在最优解，必然使人工变量逐步变为非基变量，或使其值为零。否则，目标函数值将不可能达到最小或最大。在迭代过程中，若全部人工变量变成非基变量，则可把人工变量所在的列从单纯形表中删去，此时便找到原问题的一个初始基可行解。若此基可行解不是原问题的最优解，则继续迭代，直至所有的检验数都小于等于0，求得最优解为止。

2.2 对偶问题

3 整数规划

整数规划求解方法：

3.1 分支定界

分支定界是求解整数规划的主要方法，整数规划问题对应线性规划问题，以单形法解得最佳解后，将非整数值之决策变量分割成为最接近的两个整数，分列条件，加入原问题中，形成两个子问题(或分枝)分别求解，如此便可求得目标函数值的上限（上界）或下限（下界），从其中寻得最佳解。

3.2 0-1整数规划

采用隐枚举法：
0-1规划是一种特殊的纯整数规划。求解0-1规划的隐枚举法不需要用单纯形方法求解线性规划问题。它的基本思路时从所有变量等于零出发，依次指定一些变量为1，直至得到一个可行解，并将它作为最好的可行解。此后，依次检查变量等于0或1的某些组合，以便使最好的可行解不断加以改进，最终获得最优解。隐枚举法不同于穷举法，它不需要将所有可行的变量一一列举。它通过分析、判断派出了许多变量组合作为最优解的可能性。

3.2 指派问题

匈牙利法求解：
（1）若从效率矩阵(cij)的行（或列）的各元素中分别减去该行（或列）的最小元素后得到一个新矩阵（bij）,则以（bij）为效率矩阵的指派问题与原问题有相同的最优解。
经过上述变换后，（bij）中的每行和每列都至少含有一个0元素，称位于不同行不同列的0元素为独立的0元素。
（2）若（bij）有n个独立的0元素，由此可得一个解矩阵，方法为在X中令对应于（bij）的0元素位置的元素为1，其它位置的元素为0，则X为指派问题的最优解。
（3）矩阵中独立0元素的最多个数等于能覆盖所有0元素的最少直线数。

动态规划

动态规划解背包问题：

• 一维背包问题
• 二维背包问题

2、求解器

SCIP

CPLEX

GUROBI

3、笔试题

题目1

问题描述

沐哲是一个菜鸟仓库的一个拣货员，但他有非常个怪异的习惯。每次拣货的重量都要比之前拣的一个轻，每次拣到货后都可以得到1块钱，沐哲想知道这样最多能赚多少钱

32 34 7 33 21 2
13 12 3 11 26 36
16 30 22 1 24 14
20 23 25 5 19 29
27 15 9 17 31 4
6 18 8 10 35 28

沐哲可以从仓库的某个货架开始拣货，下一步可以往上走，也可以往下走，当然，向左向右也可以，但必须使得下一个货物重量减小，才会去拣。在上面的仓库中，一条可拣货的路径为 25-22-3。当然30-23-20-16-13-12-3可以拣的货更多。这也是赚钱最多的一条路径。

示例：

输入行数、列数和数据矩阵，输出所赚的最大钱数。
例子:
输入:
6 6
32 34 7 33 21 2
13 12 3 11 26 36
16 30 22 1 24 14
20 23 25 5 19 29
27 15 9 17 31 4
6 18 8 10 35 28
输出:
7

解题思路

此题应该属于树搜索的题目，拿到题目后一直在想怎么用动态规划。结果测试时间都过了，还是没做出来，真是搓的一笔。
最暴力的解法就是对每个点遍历，以每个点为起点进行深度优先搜索，找它相邻点的可行路径。搜索后将最大结果保存到当前位置，等遍历完后，找到矩阵元素的最大值，然后输出该值。

解法1

# check the (i,j) is in the matrix index
def isInside(row,col,i,j):return (i in range(row)) and (j in range(col))# get the max step from the current point
def currentMaxStep(data,row,col,i,j):max_step=0directs = [(-1,0),(1,0),(0,-1),(0,1)]for (dx,dy) in directs:x,y = i+dx,j+dyif(isInside(row,col,x,y) and data[x][y] < data[i][j]):max_step = max([currentMaxStep(data,row,col,x,y),max_step])return max_step + 1# traverse the whole data and generate the max step map
def getMaxMap(data,row,col):Map = [[0 for j in range(col)] for i in range(row)]for i in range(row):for j in range(col):Map[i][j] = currentMaxStep(data,row,col,i,j)print('the max step map is:')    for i in range(row):print(Map[i])return Map# find the max from the max step map
def maxStep(data,row,col):Map = getMaxMap(data,row,col)return max([max(i) for i in Map])

测试结果：

if __name__=='__main__':row,col = 6,6data = [[32,  34,   7,  33,  21,   2],[13,  12,   3,  11,  26,  36],[16,  30,  22,  1,   24,  14],[20,  23,  25,  5,   19,  29],[27,  15,   9,  17,  31,   4],[ 6,  18,   8,  10,  35,  28]]print(maxStep(data,row,col))

输出结果：

the max step map is:
[4, 5, 2, 3, 2, 1]
[3, 2, 1, 2, 5, 6]
[4, 7, 2, 1, 4, 1]
[5, 6, 7, 2, 3, 4]
[6, 3, 2, 3, 4, 1]
[1, 4, 1, 2, 5, 2]
7

我们发现，每个点在进行深度优先搜索时，会遇到和其他点相同的路径，所以优化的空间。如果当前节点在之前已经搜索过了，这时候就需要判断需不需要继续搜索。两种情况
1、当前计算最大步数值大于之前遍历到该点的最大步数值，说明当前路径要比之前的路径更优，需要更新。
2、反之，不在搜索当前路径。
举个例子: 如data的第一个元素的最大路径为:32-13-12-3，最大步数为4； 当对第二个元素遍历时，假设按照上下左右的顺序，向下34-12-3为一条路径，此时第二元素的最大步数为3，向左34-32-13-12-3是个可行路径，而32-13-12-3之前已经搜索过，可以利用之前的32的最大步数值，直接比较4+1 和 3，更新第二元素的最大步数为5.
注意: 要实现这一操作，需要在遍历的过程中使用一个map来存储已遍历节点的最大步数值。

解法2

# check the (i,j) is in the matrix index
def isInside(row,col,i,j):return (i in range(row)) and (j in range(col))# update the local-max-step map
def updateMap(data,Map,row,col,i,j):directs = [(-1,0),(1,0),(0,-1),(0,1)]for (dx,dy) in directs:x,y = i+dx,j+dyif(isInside(row,col,x,y) and data[x][y] > data[i][j] and Map[x][y] < Map[i][j]+1):Map[x][y] = Map[i][j]+1updateMap(data, Map,row,col,x,y)# find the max from the max step map
def maxStep(data,row,col):Map = [[1 for j in range(col)] for i in range(row)][updateMap(data,Map,row,col,i,j) for i in range(row) for j in range(col)]print('the max step map is:')[print(Map[i]) for i in range(row)]return max([max(i) for i in Map])

测试结果：

if __name__=='__main__':row,col = 6,6data = [[32,  34,   7,  33,  21,   2],[13,  12,   3,  11,  26,  36],[16,  30,  22,  1,   24,  14],[20,  23,  25,  5,   19,  29],[27,  15,   9,  17,  31,   4],[ 6,  18,   8,  10,  35,  28]]print(maxStep(data,row,col))

输出：

the max step map is:
[4, 5, 2, 3, 2, 1]
[3, 2, 1, 2, 5, 6]
[4, 7, 2, 1, 4, 1]
[5, 6, 7, 2, 3, 4]
[6, 3, 2, 3, 4, 1]
[1, 4, 1, 2, 5, 2]
7

使用一个map记录已经遍历的元素的最大步长数可以避免一些重复的遍历。
还能不能优化呢？是否每个元素都有必要遍历一遍？
重最优化的角度来讲，此题实质上是解决从极大值到极小值的最长路径的问题。即最长路径一定是从极大值到极小值的一条路径(从山顶走到山底)。那么我们可以先找出所有最小值或者最大值，然后使用深度优先搜索遍历这些点，这些路径中，最大的一条路径一定是整个图中最大的路径。这就衍生了第三个版本(从极小值往上搜，是个上山的过程)。

https://blog.csdn.net/u014606206/article/details/77596819

题目2

问题描述

解题思路

解法1

题目3

问题描述

解题思路

解法1

题目4

问题描述

解题思路

解法1

4、建模能力

• TSP
• VRP
• 背包
• 板材切割

5、其它

1.以下哪个模型的系数矩阵不是全幺模矩阵（totally unimodular matrix）?（d）
a.最短路问题
b.指派问题
c.最大流问题
d.最小生成树问题

2.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系（b）
a.原问题无可行解，对偶问题也无可行解
b.对偶问题有可行解，原问题可能无可行解
c.若最优解存在，则最优解相同
d.一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解

引用资料：
1、https://www.cnblogs.com/liuxiang2020/p/11370768.html
2、https://blog.csdn.net/shawpan/article/details/76145200
3、

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