1. 相关定义

平衡二叉排序树要求每个节点的左右子树有着相同高度，或者要求任何节点的左右节点的左右子树高度差不超过1。

根据定义我们可以判断以下的几棵树是否属于平衡二叉排序树

上面这个满足定义的要求，是一棵平衡二叉排序树。

这棵树看起来像是平衡二叉排序树，因为他的深度满足要求；但实际上它并不是，因为首先不是一棵二叉排序树。

这个也不是平衡二叉排序树，因为它虽然满足了二叉排序树的要求，但是并没有达到平衡的要求。比如说结点 9 的左子树的深度要比右子树的深度大 2，这就超过 1 了。

这是平衡二叉排序树。

2. 实现原理

对于一个给定的数组 [3, 2, 1, 4, 5, 6, 7, 10, 9, 8]，如果不适用平衡二叉排序树的生成方法，很有可能得到如下的结果

这个结果明显是查找效率极低的，所以使用如下的平衡二叉排序树的方法。前三个数字组成的数组如下图所示

明显这已经是一个不平衡的二叉排序树，我们可以看到左子树的深度减去右子树的深度都是大于零的，所以树向右旋转得到如下图所示的结果

之后再加上 4 5 两个元素可以得到如下的图像

我们可以看到这个二叉排序树中，对于 2 3 两个结点都是不平衡的，且两者的不平衡因子都是 2 ，在这里是 3 的不平衡导致了 2 不平衡，所以调整 3 4 5 这棵不平衡术就可以了，因为在这两个不平衡点中不平衡因子（BF）都是负数，所以应该将这棵最小不平衡树进行左旋转，如下图所示

再向其中加入 6 这个结点，如下图所示

在这棵树中可以看到只有根节点 2 是不平衡的，且 BF = -2 < 0，所以需要将根节点 2 向左旋转，得到如下的结果

这个时候可以看到树已经不是一个二叉树，所以需要对 3 进行处理，由于 3 小于 4 ，所以将 3 连接在 4 的左子树的最右端，得到如下图所示的结果

然后向其中加入数据节点 7 ，得到如下的结果

其中的 5 6 7 构成了最小不平衡树，将它进行左旋转，得到如下结果

再向其中加入 10 9 两个点，可以发现对于4 6 7 三个结点，它们的 bf = 2 ，所以需要调整二叉排序树，如下图所示

但是这个结点不可以像之前一样通过旋转 7 10 9 这棵子树，因为这个时候， 10 结点的 BF 符号与之前的符号均不相同，所以要首先将 9 10 旋转，之后再将不平衡子树进行旋转，如下图所示

其中左侧是将 9 10 旋转之后得到的结果，而右侧是再经过一层旋转得到二叉平衡树。

最后向树中添加结点 8，得到的结果如下图所示

明显结点 4 的 BF 为正，结点 6 的 BF 为正，但是结点 9 的 BF 为负，这个时候应该先将 8 7 9 10 进行旋转，使得 BF 值相等，然后再调整二叉排序树，如下图所示

经过第一次旋转之后得到的结果如上图中左图所示，明显 4 6 结点不平衡，所以对 6 结点进行左旋转，得到上图中中间的图，这个时候的树不是二叉树，所以需要对 8 进行处理，因为 8 的值比对应的根节点 7 大，所以将它放在根节点 7 右子树的最左侧，得到上图中右图所示的情况，至此完成了平衡二叉树的生成。

3. 代码

#define LH 1
#define EH 0
#define RH -1typedef struct BiTNode
{int data;int bf;struct BiTNode *lchild, *rchild;
} BiTNode, *BiTree;void R_Rotate(BiTree *p)
{BiTree L;L = (*p)->lchild;(*p)->lchild = L->rchild;L->rchild = (*p);*p = L;}void LeftBalance(BiTree *T)
{BiTree L, Lr;L = (*T)->lchild;switch(L->bf){case LH:(*T)->bf = L->bf = EH;R_Rotate(T);break;case RH:Lr = L->rchild;switch(Lr->bf){case LH:(*T)->bf = RH;L->bf = EH;breakcase EH:(*T)->bf = L->bf = EH;break;case RH:(*T)->bf = EH;L->bf = LH;break;}Lr->bf = EH;L_Rotate(&(*T)->lchild);R_Rotate(T);}
}int InsertAVL(BiTree *T, int e, int *taller)
{if( !*T ){*T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));(*T)->data = e;(*T)->lchild = (*T)->rchild = NULL;(*T)->bf = EH;*taller = TRUE;}else{if(e == (*T)->data){*taller = FALSE;return FALSE;}if(e < (*T)->data){if(!InsertAVL(&(*T)->lchild, e, taller)){return FALSE;}if(*taller){switch((*T)->bf){case LH:LeftBalance(T);*taller = FALSE;break;case EH:(*T)->bf = LH;*taller = TRUE;break;case RH:(*T)->bf = EH;*taller = FALSE;break;}}}else{if(!InsertAVL(&(*T)->rchild, e, taller)){return FALSE;}if(*taller){switch((*T)->bf){case LH:(*T)->bf = EH;*taller = FALSE;break;case EH:(*T)->bf = RH;*taller = TRUE;break;case RH:RightBalance(T);*taller = FALSE;break;}}}}
}

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26. 平衡二叉排序树

1. 相关定义

2. 实现原理

3. 代码

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